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Algebra 3 ESO

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Explicacion y Ejemplos Algebra 3 ESO

Algebra es una de las asignaturas más temidas por los estudiantes. Aunque en un primer momento puede parecer difícil, con un poco de práctica y esfuerzo se puede dominar. En esta guía te explicaremos todo lo que necesitas saber para sacar una buena nota en el examen de algebra de 3º de ESO.

Introducción a la algebra

La algebra es una rama de las matemáticas que se dedica a estudiar las relaciones entre números y las propiedades de los operadores. Los números se representan mediante letras y los operadores se representan mediante símbolos. En la algebra se utilizan tanto números enteros (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), como números racionales (que se pueden expresar como fracciones, por ejemplo, 1/2, 3/4, 5/8, …) y números irracionales (que no se pueden expresar como fracciones, por ejemplo, π = 3,14159265… o la raíz cuadrada de 2, que se representa como √2).

Operadores en la algebra

Los operadores en la algebra son los símbolos que se utilizan para representar las operaciones matemáticas básicas: suma, resta, multiplicación y división. En la tabla siguiente se muestran los símbolos de los operadores y su significado:

Operador Significado
+ Suma
Resta
x ó * Multiplicación
/ División

La suma, la resta, la multiplicación y la división se pueden representar de la forma habitual, es decir, con los símbolos +, -, x ó * y /, o también de forma abreviada, utilizando símbolos especiales. En la tabla siguiente se muestran los símbolos abreviados de los operadores y su significado:

Operador Significado
± Suma y resta (un signo más y un signo menos)
× Multiplicación
÷ División

El algebra también utiliza símbolos especiales para representar operaciones más complejas, como la potenciación y la radicación. En la tabla siguiente se muestran estos símbolos y su significado:

Operador Significado
ab a elevado a b, es decir, el producto de a por sí mismo b veces. Por ejemplo, si a = 2 y b = 3, entonces 23 = 2 · 2 · 2 = 8
Raíz enésima de un número. Por ejemplo, si a = 9 y b = 2, entonces √ba = √29 = 3, porque 32 = 9

Ejemplos de ecuaciones algebraicas

Una ecuación es una igualdad que relaciona dos cantidades, mediante el uso de un signo de igual (=). Por ejemplo, la siguiente ecuación relaciona las variables x e y:

x + y = 10

Otra forma de representar una ecuación es utilizando el símbolo “igual a cero” (=0). Por ejemplo, la ecuación anterior se puede representar de la forma:

x + y – 10 = 0

La ecuación que se muestra a continuación es una ecuación de segundo grado, porque la incógnita aparece elevada a la segunda potencia:

x2 + 5x + 6 = 0

Para resolver una ecuación, es decir, para encontrar el valor de la incógnita, se utilizan diferentes métodos, que dependen del tipo de ecuación. En el caso de las ecuaciones de segundo grado, se utiliza el método de factorización. Este método consiste en igualar a cero el producto de dos factores, de tal forma que se pueda aplicar el teorema de factorización.

Factorización de ecuaciones

La factorización de ecuaciones es un método que se utiliza para resolver ecuaciones de segundo grado. Para factorizar una ecuación, es decir, para encontrar sus factores, se siguen los siguientes pasos:

  1. Se reescribe la ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números enteros.
  2. Se busca un par de números enteros p y q, tales que pq = ac y p + q = b.
  3. La ecuación se factoriza de la forma (px + qx) + (px + q) = 0.

Por ejemplo, para factorizar la ecuación x2 + 5x + 6 = 0, se siguen los pasos descritos anteriormente:

  1. La ecuación se reescribe de la forma 1x2 + 5x + 6 = 0.
  2. Se busca un par de números enteros p y q, tales que pq = ac y p + q = b. En este caso, se tiene que pq = 1 · 6 = 6 y p + q = 1 + 5 = 6. Por tanto, p = 1 y q = 5.
  3. La ecuación se factoriza de la forma (1x + 5x) + (1x + 5) = 0.

La factorización de la ecuación anterior se puede representar de la forma (x + 5)(x + 1) = 0.

Para resolver la ecuación, es decir, para encontrar el valor de la incógnita, se aplica el teorema de factorización, que establece que si un producto es igual a cero, entonces al menos uno de sus factores debe ser igual a cero. En el caso de la ecuación (x + 5)(x + 1) = 0, se tiene que al menos uno de los factores debe ser igual a cero. Por tanto, se tiene que:

x + 5 = 0 ó x + 1 = 0

x = -5 ó x = -1

Por tanto, las soluciones de la ecuación son x = -5 y x = -1.

Sistemas de ecuaciones

En ocasiones, es necesario resolver un conjunto de ecuaciones que están relacionadas entre sí. En este caso, se trata de un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, el siguiente es un sistema de ecuaciones:

x + y = 10

2x – y = 3

Para resolver un sistema de ecuaciones, es decir, para encontrar el valor de las incógnitas, se utilizan diferentes métodos, que dependen del número de ecuaciones y de las incógnitas del sistema. En el caso del sistema de ecuaciones anterior, se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, por lo que se puede utilizar el método de sustitución.

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en sustituir el valor de una de las incógnitas en una de las ecuaciones, de tal forma que se pueda obtener el valor de la otra incógnita. A continuación se explica cómo se utiliza este método para resolver el sistema de ecuaciones anterior:

  1. Se elige una de las ecuaciones y se sustituye el valor de una de las incógnitas en la otra ecuación. Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones anterior se puede elegir la primera ecuación y sustituir el valor de x en la segunda ecuación. De esta forma, se obtiene:

2x – y = 3

2(10 – y) – y = 3

20 – 2y – y = 3

20 – 3y = 3

3y = 17

y = 17/3

  1. Una vez que se ha obtenido el valor de y, se sustituye este valor en una de las ecuaciones. En este caso, se sustituye el valor de y en la primera ecuación:

x + y = 10

x + (17/3) = 10

x + 17/3 = 10

3x + 17 = 30

3x = 13

x = 13/3

Por tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son x = 13/3 y y = 17/3.

Ejercicios de algebra

Para practicar lo que has aprendido en esta guía, puedes resolver los siguientes ejercicios de algebra. Si necesitas ayuda, puedes consultar la solución de los ejercicios al final de la guía.

  1. Factoriza las siguientes ecuaciones:
    1. x2 + 9x + 20 = 0
    2. 3x2 + 12x + 9 = 0
    3. 4x2 + 4x – 12 = 0
  2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
      1. x + y = 10
      2. x – y = 6
      3. 3x – 2y = 4
      4. 2x + 3y = 1
      5. </ol

    Ejercicios Resueltos Algebra Matematicas 3 Eso

    Ejercicios Resueltos Algebra Matematicas 3 Eso

    En esta sección encontrarás ejercicios resueltos de algebra de 3º de ESO. Se trata de una recopilación de ejercicios de diferentes fuentes y autores que han sido resueltos por profesores de matemáticas de nuestro centro. Los ejercicios de algebra de 3º de ESO están organizados en los siguientes temas:

        • Sistemas de ecuaciones lineales
        • Ecuaciones de segundo grado
        • Fórmulas y ecuaciones
        • Factorización de polinomios
        • Fracciones algebraicas
        • Potencias y radicales
        • Números racionales

    Cada uno de estos temas está compuesto por diferentes lecciones en las que se explica el tema de forma detallada y se proponen ejercicios resueltos para que el alumno pueda practicar y repasar. En cada lección se detalla el procedimiento a seguir para llegar a la solución del ejercicio y, además, se ofrecen pistas y consejos que pueden resultar de ayuda. Por último, se ofrece una serie de problemas de examen de cada tema para que el estudiante pueda evaluar su nivel de conocimientos.

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