Explicacion y Ejemplos Aplicaciones De Las Derivadas 2 Bachillerato
La derivada es una herramienta matemática que nos permite calcular la pendiente de una función en un punto dado. Es decir, nos indica la rapidez con la que cambia una función en un punto dado. En otras palabras, nos da la inclinación de la recta tangente a la curva en dicho punto. Las derivadas nos sirven, entre otras cosas, para encontrar áreas, velocidades y aceleraciones.
La derivada de una función en un punto se representa con la letra f'(x), siendo x el punto en el que se calcula la derivada. Para calcularla, se utiliza la siguiente fórmula:
f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) – f(x)]/h
La derivada nos sirve, entre otras cosas, para encontrar áreas, velocidades y aceleraciones. Las aplicaciones de las derivadas son muy amplias y están presentes en muchos ámbitos de nuestra vida cotidiana. A continuación, vamos a ver algunas de ellas:
1. Encontrar la velocidad de un objeto en un instante dado
Si sabemos la función posición de un objeto en función del tiempo, podemos encontrar su velocidad en un instante dado calculando la derivada de dicha función en ese punto. Por ejemplo, si un coche recorre una distancia de 100 km en 2 horas, podemos calcular su velocidad media en ese trayecto de la siguiente manera:
La función posición del coche en función del tiempo sería: x(t) = 100 km/2 h = 50 km/h
La velocidad del coche en el punto medio del trayecto, es decir, a los 1 horas, sería:
v(t) = x'(t) = [x(t+h) – x(t)]/h
v(1 h) = [x(1 h+h) – x(1 h)]/h
v(1 h) = [x(2 h) – x(1 h)]/h
v(1 h) = [50 km/h – 50 km/h]/h
v(1 h) = 0 km/h
Por tanto, podemos decir que la velocidad del coche en el trayecto fue constante y, por lo tanto, la velocidad media fue de 50 km/h.
2. Encontrar el área de una figura
Otra aplicación muy común de las derivadas es la de encontrar el área de una figura. Para ello, lo que hacemos es dibujar la figura en un plano cartesiano y, a continuación, calcular la derivada de la función que describe dicha figura en cada uno de los puntos. El área de la figura será igual al área de los rectángulos que vamos obteniendo.
De manera similar a como hemos encontrado el área de una figura, podemos encontrar el volumen de un cuerpo tridimensional dibujándolo en un espacio tridimensional y, a continuación, calculando la derivada de la función que describe dicho cuerpo en cada uno de los puntos. El volumen del cuerpo será igual al volumen de los cilindros que vamos obteniendo.
4. Encontrar el máximo o el mínimo de una función
Otra aplicación muy útil de las derivadas es la de encontrar el máximo o el mínimo de una función. Para ello, lo que hacemos es derivar la función en el punto en el que estamos interesados y, a continuación, igualar a cero la derivada obtenida. El punto en el que se produce esta igualdad será el punto en el que se encuentra el máximo o el mínimo de la función, según corresponda.
5. Encontrar el punto de inflexión de una función
Otra aplicación interesante de las derivadas es la de encontrar el punto de inflexión de una función. Un punto de inflexión es aquel en el que cambia la concavidad de la función. Es decir, si antes de dicho punto la función es cóncava y después es convexa, el punto de inflexión será el punto en el que se produce dicho cambio. Para encontrar el punto de inflexión de una función, lo que hacemos es derivar la función en el punto en el que estamos interesados y, a continuación, igualar a cero la segunda derivada obtenida. El punto en el que se produce esta igualdad será el punto de inflexión de la función.
Como podemos ver, las aplicaciones de las derivadas son muy amplias y están presentes en muchos ámbitos de nuestra vida cotidiana. Aprender a calcularlas nos será de gran ayuda tanto en nuestra vida académica como en nuestra vida profesional.
Ejercicios Resueltos Aplicaciones De Las Derivadas Matematicas 2 Bachillerato
Los ejercicios de derivadas resueltos que se presentan a continuación son útiles para aplicar las derivadas en la vida cotidiana. Algunos de estos ejercicios requieren el uso de la regla de la cadena, de la derivada implicita, de l’Hospital y de la derivada de una función inverse. Otros, en cambio, requieren el uso de la derivada de un producto, de un cociente o de una función racional.
Para resolver cualquiera de estos ejercicios, es importante tener en cuenta las fórmulas de derivadas que se presentan a continuación. Si no se conocen estas fórmulas, se recomienda consultar un libro de texto o de consulta sobre derivadas.
Fórmulas de derivadas
Derivada de una función constante:
f ‘(x) = 0
Derivada de la función identidad:
f ‘(x) = 1
Derivada de una función lineal:
f ‘(x) = m
Derivada de una función cuadrática:
f ‘(x) = 2ax
Derivada de una función cúbica:
f ‘(x) = 3ax2
Derivada de una función potencial:
f ‘(x) = axn-1
Derivada de una función exponencial:
f ‘(x) = ax ln a
Derivada de una función logarítmica:
f ‘(x) = 1 / x
Derivada de una función trigonométrica:
f ‘(x) = a cos ax
Derivada de una función inversa:
f ‘(x) = -1 / (f(x))2
Derivada de una función compuesta:
f ‘(x) = f ‘ (g(x)) * g’ (x)
Derivada de una función implícita:
f ‘(x, y) = -1 / (f(x, y))2
Derivada de una función racional:
f ‘(x) = (f ‘(x) * g(x) – f(x) * g ‘(x)) / (g(x))2
Derivada de un producto:
f ‘(x) = f(x) * g ‘(x) + f ‘(x) * g(x)
Derivada de un cociente:
f ‘(x) = (f ‘(x) * g(x) – f(x) * g ‘(x)) / (g(x))2
