Las derivadas matemáticas son una de las herramientas más importantes que podemos encontrar a la hora de estudiar cualquier carrera relacionada con las matemáticas.
Su función principal es la de poder calcular el ritmo de cambio de una función en un punto concreto, lo que nos resultará de gran utilidad a la hora de analizar gráficas o de resolver problemas de optimización.
En este artículo vamos a centrarnos en explicar cómo se calcula la derivada de una función en un punto dado, para ello vamos a utilizar el método de los límites.
Cálculo de la derivada
Para calcular la derivada de una función en un punto dado, lo primero que tenemos que hacer es definir una serie de límites.
En concreto, necesitaremos definir el límite del cociente entre el cambio de la función (Δf(x)), y el cambio del argumento de la función (Δx), cuando Δx tiende a cero.
Este límite se representa de la siguiente forma:
f ‘(x) = lim (Δf(x)) / (Δx)
Como podemos ver, el cálculo de la derivada de una función en un punto dado se reduce a la evaluación de un límite, por lo que es importante que tengamos en cuenta esta definición a la hora de abordar este tema.
Una vez que ya sabemos cómo se define la derivada de una función, vamos a ver cómo se calcula en un punto concreto.
Para ello, vamos a utilizar el método de los límites, que es el más utilizado a la hora de calcular derivadas.
El método de los límites se basa en la definición de la derivada que hemos visto anteriormente, es decir, en el cálculo del límite del cociente entre el cambio de la función (Δf(x)), y el cambio del argumento de la función (Δx), cuando Δx tiende a cero.
Vamos a ver un ejemplo para que quede más claro cómo se utiliza este método.
Supongamos que queremos calcular la derivada de la función f(x) = x2 en el punto x = 2.
Para ello, lo primero que tenemos que hacer es calcular el cambio de la función (Δf(x)), y el cambio del argumento de la función (Δx).
En concreto, necesitaremos calcular Δf(x) en el punto x = 2, y Δx en el punto x = 2.
Para calcular Δf(x), podemos utilizar la definición de derivada que hemos visto anteriormente, es decir, f ‘(x) = lim (Δf(x)) / (Δx).
En este caso, podemos utilizar la derivada de la función f(x) = x2 en el punto x = 2, que ya conocemos, y que es f ‘(x) = 2x.
De esta forma, podemos calcular Δf(x) en el punto x = 2 de la siguiente forma:
Δf(x) = f ‘(2) * Δx
Como podemos ver, el cálculo de Δf(x) en el punto x = 2 se reduce a la multiplicación de la derivada de la función en el punto x = 2, por el cambio del argumento de la función (Δx).
De esta forma, si queremos calcular el cambio de la función (Δf(x)), en el punto x = 2, solo necesitamos calcular la derivada de la función en el punto x = 2, y multiplicarla por el cambio del argumento de la función (Δx).
En cuanto al cálculo de Δx, podemos decir que se trata del cambio en el valor del argumento de la función (x), en el punto x = 2.
Como Δx tiende a cero, podemos decir que Δx es igual a cero, de forma que podemos calcular el cambio de la función (Δf(x)) en el punto x = 2 de la siguiente forma:
Δf(x) = f ‘(2) * 0
Como podemos ver, el cálculo de Δf(x) en el punto x = 2 se reduce a la multiplicación de la derivada de la función en el punto x = 2, por cero.
De esta forma, podemos decir que el cambio de la función (Δf(x)) en el punto x = 2 es igual a cero.
Por lo tanto, podemos calcular la derivada de la función f(x) = x2 en el punto x = 2 de la siguiente forma:
f ‘(2) = lim (Δf(x)) / (Δx)
Como podemos ver, el cálculo de la derivada de una función en un punto dado se reduce a la evaluación de un límite, en este caso, el límite del cociente entre el cambio de la función (Δf(x)), y el cambio del argumento de la función (Δx), cuando Δx tiende a cero.
En este caso, como Δf(x) es igual a cero, podemos decir que el límite del cociente es igual a cero, de forma que la derivada de la función f(x) = x2 en el punto x = 2 es igual a cero.
Ejercicios Resueltos Derivadas Matematicas 4 Eso
Los ejercicios de derivadas resueltos que te ofrecemos a continuación te serán de mucha ayuda para que puedas repasar y/o aprender a derivar funciones de una manera más fácil y sencilla.
En primer lugar, vamos a ver cómo derivar funciones de la forma y = f(x). Para derivar una función de esta forma, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de la derivada, es decir,
Por ejemplo, si queremos derivar la función y = x2, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de la derivada, es decir,
De esta forma, podemos derivar cualquier función de la forma y = f(x). Ahora vamos a ver cómo derivar funciones de la forma y = f(g(x)). Para derivar una función de esta forma, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de la derivada de una función compuesta, es decir,
Por ejemplo, si queremos derivar la función y = (x2 + 1)3, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de la derivada de una función compuesta, es decir,
De esta forma, podemos derivar cualquier función de la forma y = f(g(x)). Ahora vamos a ver cómo derivar funciones de la forma y = f(x)g(x). Para derivar una función de esta forma, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla del producto, es decir,
Por ejemplo, si queremos derivar la función y = x2ex, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla del producto, es decir,
De esta forma, podemos derivar cualquier función de la forma y = f(x)g(x). Ahora vamos a ver cómo derivar funciones de la forma y = f(x)/g(x). Para derivar una función de esta forma, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla del cociente, es decir,
Por ejemplo, si queremos derivar la función y = (x2 + 1)/(x + 1), lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla del cociente, es decir,
De esta forma, podemos derivar cualquier función de la forma y = f(x)/g(x). Ahora vamos a ver cómo derivar funciones de la forma y = f(x)g(x). Para derivar una función de esta forma, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de la potencia, es decir,
De esta forma, podemos derivar cualquier función de la forma y = f(x)g(x). Ahora vamos a ver cómo derivar funciones de la forma y = f(g(x), h(x)). Para derivar una función de esta forma, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de la derivada de una función multivariable, es decir,
Por ejemplo, si queremos derivar la función y = x2 + y2, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de la derivada de una función multivariable, es decir,
De esta forma, podemos derivar cualquier función de la forma y = f(g(x), h(x)). Ahora vamos a ver cómo derivar funciones de la forma y = f(x, g(x), h(x)). Para derivar una función de esta forma, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de la derivada de una función multivariable, es decir,
Por ejemplo, si queremos derivar la función y = x2 + y2 + z2, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de la derivada de una función multivariable, es decir,
De esta forma, podemos derivar cualquier función de la forma y = f(x, g(x), h(x)). Ahora vamos a ver cómo derivar funciones de la forma y = f(g(x), h(x), i(x)). Para derivar una función de esta forma, lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de la derivada de una función multivariable, es decir,
