Explicación de funciones lineales en matemáticas para el segundo año de ESO
En matemáticas, una función lineal es aquella cuyos gráficos son líneas rectas. Las funciones lineales se caracterizan porque sus puntos de intersección con el eje x forman una recta. Las funciones lineales se representan generalmente de la siguiente forma:
y = mx + b
Donde m es la pendiente de la recta y b es el punto de intersección con el eje y (también conocido como el «término independiente»).
Por ejemplo, la función lineal y = 2x – 1 tiene una pendiente de 2 y un término independiente de -1. Esto significa que su gráfico será una recta con una inclinación de 2 unidades por cada x, y que cruzará el eje y en -1 (es decir, el punto de intersección será (-1, 0)).
Otro ejemplo sería la función lineal y = -3x + 5, que tiene una pendiente de -3 y un término independiente de 5. Esto significa que su gráfico será una recta con una inclinación de -3 unidades por cada x, y que cruzará el eje y en 5 (es decir, el punto de intersección será (0, 5)).
Como se puede ver, la pendiente de una función lineal nos dice cuán rápido cambia la función a medida que aumenta x. El término independiente nos dice dónde cruza el eje y.
En general, las funciones lineales pueden ser positivas o negativas, y pueden tener cualquier pendiente. La pendiente puede ser cero, pero esto significa que la función es horizontal (es decir, no cambia en absoluto a medida que aumenta x).
Las funciones lineales son muy útiles en la vida real porque muchos fenómenos se pueden modelar con ellos. Por ejemplo, la velocidad de un coche es una función lineal de su aceleración. Si un coche acelera a una tasa constante de 2 metros por segundo por segundo, entonces su velocidad aumentará 2 metros por segundo cada segundo. Si comienza desde una velocidad de 10 metros por segundo, entonces su velocidad será de 12 metros por segundo al cabo de un segundo, 14 metros por segundo al cabo de dos segundos, y así sucesivamente.
Otro ejemplo sería el crecimiento de una población. Si una población está aumentando a una tasa constante de 2 personas por segundo, entonces la población aumentará en 2 personas cada segundo. Si comienza con una población de 10 personas, entonces la población será de 12 personas al cabo de un segundo, 14 personas al cabo de dos segundos, y así sucesivamente.
En general, si una cantidad está aumentando o disminuyendo a una tasa constante, entonces su comportamiento puede modelarse con una función lineal.
Los ejercicios resueltos de funciones lineales de matemáticas de 2º ESO son una herramienta muy útil para repasar y comprender este importante tema de la asignatura.
En esta entrada te ofrecemos una recopilación de ejercicios de funciones lineales con sus respectivas soluciones, de forma que puedas practicar y mejorar tus conocimientos.
¿Qué es una función lineal?
Una función lineal es aquella que cumple con la propiedad de superposición, es decir, que si sumamos dos funciones lineales, el resultado será también una función lineal.
Así pues, una función lineal puede representarse mediante una ecuación de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es el punto de intersección con el eje y.
A continuación te ofrecemos una serie de ejercicios de funciones lineales para que pongas a prueba tus conocimientos. ¡Anímate a resolverlos todos!
Ejercicio 1: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1,3) y (2,-5).
Solución: Para determinar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos podemos utilizar la fórmula de la pendiente, de forma que:
m = y2 – y1 / x2 – x1
De esta forma, en nuestro caso, la pendiente será:
m = (-5) – 3 / 2 – (-1) = -8 / 3 = -2,667
Una vez que tenemos la pendiente, podemos determinar el punto de intersección con el eje y utilizando cualquiera de los dos puntos que nos dan, por ejemplo, el punto (-1,3):
b = 3 – (-2,667) * (-1) = 3 + 2,667 = 5,667
Así pues, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1,3) y (2,-5) es:
y = -2,667 * x + 5,667
Ejercicio 2: Representa gráficamente las siguientes funciones lineales:
y = 3x – 1
y = -2x + 5
Solución: Para representar gráficamente una función lineal basta con trazar la recta que corresponde a su ecuación en un sistema de coordenadas.
En el caso del ejercicio, las rectas que corresponden a las funciones lineales son:
y = 3x – 1
y = -2x + 5
La representación gráfica de estas funciones lineales sería, por tanto:
Ejercicio 3: Determina el dominio y el recorrido de la función lineal y = -2x + 5.
Solución: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de x para los que la función es válida. En el caso de las funciones lineales, el dominio será el conjunto de todos los números reales, ya que no hay ningún valor de x para el que la función no sea válida.
Por otro lado, el recorrido de una función es el conjunto de todos los valores de y que puede tomar la función en función de los valores de x que pertenecen a su dominio.
En el caso de la función lineal y = -2x + 5, el dominio será el conjunto de todos los números reales (D = (-∞, +∞)) y el recorrido será el conjunto de todos los números reales mayores que 5 (R = (5, +∞)).
Ejercicio 4: ¿Cuál será el punto de intersección de las rectas y = -2x + 5 y y = 3x – 1?
Solución: Para determinar el punto de intersección de dos rectas basta resolver la ecuación que resulta de igualar ambas funciones.
En el caso del ejercicio, la ecuación que resulta de igualar las funciones lineales es:
-2x + 5 = 3x – 1
Despejando x de esta ecuación obtenemos:
x = 2
Así pues, el punto de intersección de las rectas y = -2x + 5 y y = 3x – 1 es el punto (2,1).
Ejercicio 5: ¿Cuál será el punto de intersección de las rectas y = -2x + 5 y x = -1?
Solución: Para determinar el punto de intersección de dos rectas basta resolver la ecuación que resulta de igualar ambas funciones.
En el caso del ejercicio, la ecuación que resulta de igualar las funciones lineales es:
-2x + 5 = -1
Despejando x de esta ecuación obtenemos:
x = 3
Así pues, el punto de intersección de las rectas y = -2x + 5 y x = -1 es el punto (3,-7).
