Ejercicios Limites Ccss 2 Bachillerato Con Soluciones PDF

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Explicacion y Ejemplos Limites Ccss 2 Bachillerato

Los límites en las matemáticas se pueden definir de diversas maneras, pero en general, se pueden entender como el resultado al evaluar una función en un punto cercano a un valor dado. En otras palabras, el límite es el valor al que tiende una función cuando se acerca a un punto dado. Los límites pueden ser útiles para entender el comportamiento de una función en un punto en particular, o para encontrar el valor de una función en un punto en el que no es fácil evaluarla directamente.

En general, el cálculo de límites es un proceso de análisis matemático en el que se examina el comportamiento de una función en un punto dado. Se pueden encontrar límites mediante el cálculo directo, la aproximación numérica o la aproximación gráfica. A menudo, el cálculo de límites se puede simplificar utilizando propiedades y teoremas de límites, como el teorema del límite de la suma o el teorema del límite del producto.

Los límites se pueden utilizar para encontrar el valor de una función en un punto en el que es difícil evaluarla directamente. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x tiene un límite en x = 0, pero no se puede evaluar directamente en ese punto. Sin embargo, el límite de f(x) cuando x se acerca a 0 es 1, por lo que podemos concluir que f(0) = 1. De esta manera, los límites nos permiten extrapolar el valor de una función en un punto dado a partir de su comportamiento cerca de ese punto.

Los límites también pueden ser útiles para entender el comportamiento de una función en un punto dado. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x tiene un límite en x = 0, pero el comportamiento de la función cerca de ese punto es divergente. Esto significa que f(x) tiende a infinity cuando x se acerca a 0 por la derecha, y tiende a -infinity cuando x se acerca a 0 por la izquierda. De esta manera, el límite nos permite entender el comportamiento de una función en un punto dado a partir de su comportamiento cerca de ese punto.

Ejercicios Resueltos Limites Ccss Matematicas 2 Bachillerato

Los límites son uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas y su comprensión es esencial para el estudio de otras disciplinas como la física o la ingeniería. En este artículo vamos a repasar algunos de los ejercicios de límites más habituales que podemos encontrar en los exámenes de Selectividad o de Matemáticas de Bachillerato.

Para empezar, vamos a recordar la definición de límite:

Definición de límite: Dado una función f(x) de variable real, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es el número L si, para cada épsilon > 0 existe una δ > 0 tales que si |x – a| < δ entonces |f(x) – L| < épsilon.

O lo que es lo mismo, para que una función tenga un límite cuando x tiende a a es necesario y suficiente que, al aproximarse x a a por valores mayores y menores, la función f(x) se aproxime a un número L.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Determinar el límite de f(x) = x² – 9 cuando x tiende a 3.

Solución: Como f(3) = 0, basta comprobar que f(x) se aproxima a 0 cuando x tiende a 3, es decir, que |f(x) – 0| < épsilon para algún épsilon > 0.

Observamos que |f(x) – 0| = |x² – 9 – 0| = |x² – 9| = |x – 3||x + 3|.

Por tanto, si elegimos épsilon = 1, basta tomar δ = min1, 2 = 1.

Así pues, si |x – 3| < 1, entonces |x² – 9| < 1 y, por tanto, f(x) se aproxima a 0, es decir, el límite de f(x) cuando x tiende a 3 es 0.

Ejemplo 2: Determinar el límite de f(x) = (1 + 1/x)^1/x cuando x tiende a infinito.

Solución: Para x = 1, f(1) = 2^1/1 = 2 > 1.

Por otro lado, si x > 1, entonces 1/x < 1 y, por tanto, (1 + 1/x)^1/x < (1 + 1)¹ = 2.

Así pues, f(x) tiende a 2 cuando x tiende a infinito y, por tanto, el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es 2.

Ejemplo 3: Determinar el límite de f(x) = x³ + x – 1 cuando x tiende a 1.

Solución: Como f(1) = 1, basta comprobar que f(x) se aproxima a 1 cuando x tiende a 1, es decir, que |f(x) – 1| < épsilon para algún épsilon > 0.

Observamos que |f(x) – 1| = |x³ + x – 1 – 1| = |x³ + x – 2| < |x³| + |x – 2|, ya que -1 < x < 1.

Por tanto, si elegimos épsilon = 1/4, basta tomar δ = min{1, 4/3} = 1/3.

Así pues, si 0 < |x – 1| < 1/3, entonces |x³ + x – 2| < 1/4 y, por tanto, f(x) se aproxima a 1, es decir, el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 1.

Ejercicios Resueltos:

Ejercicio 1: Determinar el límite de f(x) = 1 – x⁴ cuando x tiende a cero.

Solución: Como f(0) = 1, basta comprobar que f(x) se aproxima a 1 cuando x tiende a cero, es decir, que |f(x) – 1| < épsilon para algún épsilon > 0.

Observamos que |f(x) – 1| = |1 – x⁴ – 1| = |x⁴| < x⁴.

Por tanto, si elegimos épsilon = 1, basta tomar δ = 1.

Así pues, si 0 < |x| < 1, entonces |x⁴| < 1 y, por tanto, f(x) se aproxima a 1, es decir, el límite de f(x) cuando x tiende a cero es 1.

Ejercicio 2: Determinar el límite de f(x) = (1 + 1/x)^1/x – 1 cuando x tiende a infinito.

Solución: Como f(x) = (1 + 1/x)^1/x – 1, basta comprobar que f(x) se aproxima a cero cuando x tiende a infinito, es decir, que |f(x) – 0| < épsilon para algún épsilon > 0.

Observamos que, para x > 1, 1 + 1/x < 2 y, por tanto, (1 + 1/x)^1/x – 1 < 2^1/x – 1 < 2 - 1 = 1.

Así pues, si elegimos épsilon = 1, basta tomar δ = 1.

Así pues, si x > 1, entonces (1 + 1/x)^1/x – 1 < 1 y, por tanto, f(x) se aproxima a 0, es decir, el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es 0.

Ejercicio 3: Determinar el límite de f(x) = x³ + x² – x cuando x tiende a infinito.

Solución: Como f(x) = x³ + x² – x, basta comprobar que f(x) se aproxima a cero cuando x tiende a infinito, es decir, que |f(x) – 0| < épsilon para algún épsilon > 0.

Observamos que, para x > 1, x³ > x > x² y, por tanto, x³ + x² – x > x³ – x > 0.

Así pues, si elegimos épsilon = 1/2, basta tomar δ = 1.

Así pues, si x > 1, entonces x³ + x² – x > 1/2 y, por tanto, f(x) se aproxima a 0, es decir, el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es 0.

 

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