Explicacion con Ejemplos Limites Y Continuidad 1 Bachillerato
Los límites y la continuidad son importantes conceptos en matemáticas. En esta lección, discutiremos qué son estos conceptos y cómo se relacionan. También aprenderemos cómo calcular límites usando la notación de «límite» y cómo determinar si una función es continua o discontinua en un punto.
Límites
En matemáticas, el límite de una función es el valor que se acerca a un punto particular en el dominio de la función. El concepto de límite es útil para entender cómo funcionan las funciones en matemáticas y ciencias.
Considere la función f(x) = 2x + 1. Esta función tiene un límite en el punto x = 1, que es el valor de la función cuando x se acerca a 1. En otras palabras, el límite de f en 1 es 3.
Podemos notar que el límite de una función puede existir incluso si la función no está definida en el punto en cuestión. En el ejemplo anterior, la función f no está definida en x = 1, pero aún podemos calcular su límite en ese punto.
La notación de límite se representa de la siguiente manera:
&lim;x→af(x) = L
En esta notación, a es el punto en el dominio de la función en el que se calcula el límite. L es el valor del límite. En el ejemplo anterior, el límite se puede escribir de la siguiente manera:
&lim;x→1f(x) = 3
La notación «x se acerca a a» significa que el valor de x está tomando valores cercanos a a. Por ejemplo, si a = 1 y x = 2, entonces x se acerca a 1. Sin embargo, si x = 0,5, entonces xno se acerca a 1, sino que se aleja de 1.
Calcular límites puede sonar intimidante, pero con un poco de práctica, se vuelve más fácil. A continuación se presentan algunos ejemplos para ayudar a comprender cómo se pueden calcular los límites.
Ejemplo 1: Calcule el límite de la función f(x) = 2x + 1 en x = 1.
Para calcular el límite, debemos sustituir x = 1 en la función f(x).
&lim;x→1f(x) = f(1) = 2(1) + 1 = 3
Como se puede ver, el límite es el valor de la función en el punto x = 1, que es 3.
Ejemplo 2: Calcule el límite de la función f(x) = 2x + 1 en x = 0.
Para calcular el límite, debemos sustituir x = 0 en la función f(x).
&lim;x→0f(x) = f(0) = 2(0) + 1 = 1
Como se puede ver, el límite es el valor de la función en el punto x = 0, que es 1.
Ejemplo 3: Calcule el límite de la función f(x) = 2x + 1 en x = -1.
Para calcular el límite, debemos sustituir x = -1 en la función f(x).
&lim;x→-1f(x) = f(-1) = 2(-1) + 1 = -1
Como se puede ver, el límite es el valor de la función en el punto x = -1, que es -1.
Continuidad
La continuidad es otro concepto importante en matemáticas. Una función es continua si se puede trazar una línea recta sin interrupciones en su gráfica. Una función es discontinua si no se puede trazar una línea recta sin interrupciones en su gráfica.
Por ejemplo, la función f(x) = 2x + 1 es continua. Podemos trazar una línea recta sin interrupciones en su gráfica.
Sin embargo, la función g(x) = |x| es discontinua. No podemos trazar una línea recta sin interrupciones en su gráfica.
La continuidad es importante porque muchas propiedades matemáticas solo se aplican a funciones continuas. Por ejemplo, la derivada de una función es la tasa de cambio de la función en un punto particular. Sin embargo, solo se puede calcular la derivada de una función si es continua. Esto se debe a que la derivada se define como el límite de una función, y solo se puede calcular el límite de una función si es continua.
A continuación se presentan algunos ejemplos para ayudar a comprender cómo se puede determinar si una función es continua o discontinua.
Ejemplo 4: ¿Es la función f(x) = 2x + 1 continua o discontinua?
Podemos ver que la función f es continua porque podemos trazar una línea recta sin interrupciones en su gráfica.
Ejemplo 5: ¿Es la función g(x) = |x| continua o discontinua?
Podemos ver que la función g es discontinua porque no podemos trazar una línea recta sin interrupciones en su gráfica.
Ejemplo 6: ¿Es la función h(x) = 1/x continua o discontinua?
Podemos ver que la función h es discontinua porque no podemos trazar una línea recta sin interrupciones en su gráfica.
Ejercicios Resueltos Limites Y Continuidad Matematicas 1 Bachillerato
Los límites y la continuidad son dos conceptos fundamentales en matemáticas. En este artículo, vamos a ver cómo se definen y qué ejercicios podemos resolver para comprender mejor estos conceptos.
En matemáticas, el límite de una función es el valor al que tiende dicha función cuando el argumento se acerca a un valor dado. En otras palabras, el límite nos dice qué valor toma una función cuando el argumento se acerca a un cierto valor.
Por ejemplo, imagina que quieres calcular el límite de la función f(x) = x2 + 1 cuando x se acerca a 2. Esto significa que quieres calcular el valor de f(x) cuando x es cada vez más cercano a 2. Como podemos ver en la siguiente tabla, cuando x se acerca a 2, la función f(x) tiende a 5.
x
f(x)
1,9
3,61
1,99
4,9601
1,999
4,996001
1,9999
4,999996
Por lo tanto, el límite de f(x) cuando x se acerca a 2 es 5.
La continuidad de una función es otro concepto importante en matemáticas. Se dice que una función es continua en un punto si el límite de la función en ese punto existe y es igual al valor de la función en ese punto. En otras palabras, una función es continua si podemos calcular su límite en un punto y si ese límite es igual al valor de la función en ese punto.
Por ejemplo, la función f(x) = x2 + 1 es continua en 2, ya que su límite en 2 existe (5) y es igual al valor de la función en 2 (5).
Sin embargo, la función f(x) = |x| no es continua en 0, ya que su límite en 0 no existe.
En resumen, el límite nos dice qué valor toma una función cuando el argumento se acerca a un cierto valor, mientras que la continuidad nos dice si podemos calcular el límite de una función en un punto.
A continuación, vamos a ver cómo podemos resolver algunos ejercicios de límites y continuidad.
Ejercicio 1:
Calcula el límite de la función f(x) = x3 + 2x2 + 3x + 4 cuando x se acerca a 2.
Solución:
Como podemos ver en la siguiente tabla, cuando x se acerca a 2, la función f(x) tiende a 12.
x
f(x)
1,9
11,471
1,99
11,9401
1,999
11,9960
1,9999
11,99994
Por lo tanto, el límite de f(x) cuando x se acerca a 2 es 12.
Ejercicio 2:
Determina si la función f(x) = |x| – x es continua en 0.
Solución:
La función f(x) no es continua en 0, ya que su límite en 0 no existe.
