Los máximos y mínimos de una función real de una variable real se refieren a los valores extremos que adquiere dicha función en un determinado intervalo de su dominio. En otras palabras, el máximo de una función es el valor más alto que esta adquiere en un intervalo, mientras que el mínimo es el valor más bajo. El máximo y el mínimo pueden ser locales o globales.
Por ejemplo, consideremos la función f(x)=x2 en el intervalo [-1,1]. En este intervalo, la función tiene un mínimo global en x=0, ya que f(0)=0 es el valor más bajo que toma la función en todo el intervalo. En cambio, el máximo es local y se encuentra en x=-1 y x=1, ya que f(-1)=1 y f(1)=1 son los valores más altos de la función en el intervalo, aunque f(x)=x2 tiene valores mayores que 1 fuera del intervalo [-1,1].
En general, para encontrar los máximos y mínimos de una función, debemos derivarla e igualarla a cero. La derivada nos indicará en qué puntos la función está en su punto más alto o más bajo. Sin embargo, debemos tener cuidado, ya que la derivada no siempre nos dará el valor exacto del máximo o el mínimo, sino que solo nos indicará en qué punto se encuentran. Por ejemplo, en el caso de la función f(x)=x2, la derivada es f'(x)=2x. Si igualamos esta derivada a cero, obtenemos x=0. Como sabemos, la función tiene un mínimo en este punto, pero la derivada no nos da el valor exacto del mínimo (f(0)=0), sino que solo nos indica en qué punto se encuentra.
Otro ejemplo es el de la función f(x)=|x|. En este caso, la derivada es f'(x)=sgn(x), donde sgn(x) es el signo de x (es decir, si x<0, entonces sgn(x)=-1; si x>0, entonces sgn(x)=1; y si x=0, entonces sgn(x)=0). Si igualamos esta derivada a cero, obtenemos x=0. En este punto, la función tiene un mínimo (f(0)=0), pero la derivada no nos da el valor exacto del mínimo, sino que solo nos indica en qué punto se encuentra.
Por tanto, para encontrar los máximos y mínimos de una función, debemos derivarla e igualarla a cero. Si, además, conocemos el dominio de la función, podremos encontrar el máximo y el mínimo global de la función. Sin embargo, debemos tener cuidado, ya que la derivada no siempre nos dará el valor exacto del máximo o el mínimo, sino que solo nos indicará en qué punto se encuentran.
Ejercicios Resueltos Maximos Y Minimos Matematicas 1 Bachillerato
En matemáticas, un máximo o un mínimo de una función es un punto en el dominio de la función en el que se produce un valor extremo (un máximo o un mínimo, respectivamente). Dado un conjunto de valores, el máximo es el valor más grande y el mínimo el valor más pequeño. En otras palabras, el máximo es el valor más alto y el mínimo el valor más bajo. Estos conceptos se pueden extenden a funciones de más de una variable.
Por ejemplo, en el conjunto de números reales, el máximo de los números 4, -2, 1 y 7 es 7 y el mínimo es -2. En el conjunto de los números enteros, el máximo de los números 4, -2, 1 y 7 es 7 y el mínimo es 1.
En general, un máximo o un mínimo puede ser local o global. Un máximo (mínimo) local es un máximo (mínimo) en el dominio de la función, pero no necesariamente en el conjunto de todos los valores de la función. Un máximo (mínimo) global es un máximo (mínimo) en el conjunto de todos los valores de la función.
Por ejemplo, la función f(x) = x2 tiene un máximo local en x = 0 y un mínimo local en x = -1/2. Sin embargo, el máximo global de la función es 1/4 (cuando x = 1/2) y el mínimo global es 0 (cuando x = 0).
Una manera común de denotar un máximo o un mínimo es escribir
max x1, x2, …, xn = a
o
min x1, x2, …, xn = a,
donde a es el valor del máximo o el mínimo, respectivamente.
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