Ejercicios Sistemas No Lineales 4 ESO con Soluciones PDF

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Explicacion y Ejemplos Sistemas No Lineales 4 ESO

Los sistemas no lineales son aquellos en los que no se puede superponer la solución al problema original, es decir, que no se pueden superponer pequeñas perturbaciones a la solución del sistema. En consecuencia, el método de superposición no sirve para analizar sistemas no lineales. Sin embargo, la solución del sistema no lineal puede aproximarse mediante la solución del sistema lineal que resulta de linearizar el sistema no lineal en torno a una solución conocida.

Por ejemplo, el sistema no lineal

$frac{dx}{dt}=f(x,y)$

$frac{dy}{dt}=g(x,y)$

puede ser linearizado en torno a una solución conocida $(x_{0},y_{0})$ si se consideran las derivadas de $f$ y $g$ en ese punto:

$frac{dx}{dt}=f(x_{0},y_{0})+left(frac{partial f}{partial x}right)_{(x_{0},y_{0})}(x-x_{0})+left(frac{partial f}{partial y}right)_{(x_{0},y_{0})}(y-y_{0})$

$frac{dy}{dt}=g(x_{0},y_{0})+left(frac{partial g}{partial x}right)_{(x_{0},y_{0})}(x-x_{0})+left(frac{partial g}{partial y}right)_{(x_{0},y_{0})}(y-y_{0})$

Si se considera que $x$ y $y$ varían poco en torno a $(x_{0},y_{0})$, entonces la aproximación lineal resultante es:

$frac{dx}{dt}approx f(x_{0},y_{0})+left(frac{partial f}{partial x}right)_{(x_{0},y_{0})}x+left(frac{partial f}{partial y}right)_{(x_{0},y_{0})}y$

$frac{dy}{dt}approx g(x_{0},y_{0})+left(frac{partial g}{partial x}right)_{(x_{0},y_{0})}x+left(frac{partial g}{partial y}right)_{(x_{0},y_{0})}y$

que es el sistema lineal que resulta de linearizar el sistema no lineal en torno a la solución $(x_{0},y_{0})$.

 

El método de aproximación por linearización es muy útil en la práctica, ya que permite analizar sistemas no lineales mediante el uso de técnicas y métodos desarrollados para sistemas lineales. No obstante, hay que tener en cuenta que se trata de una aproximación, y que cuanto más lejos esté la solución del sistema no lineal de la solución del sistema lineal, mayor será el error de la aproximación.

Ejercicios Resueltos Sistemas No Lineales Matematicas 4 Eso

Los sistemas no lineales son aquellos en los que la relación entre la entrada y la salida no es una función lineal. En general, un sistema no lineal puede modelarse como una función de la forma y = f (x), donde f (x) es no lineal en x. En la literatura, a menudo se les llama sistemas polinomiales o sistemas algebráicos.

Una característica importante de los sistemas no lineales es que, aunque la función f (x) puede ser continuamente diferenciable, el sistema en general no es linealmente conmutativo. Esto significa que, si se cambia el orden en que se aplican las entradas al sistema, la salida cambiará en general. Por ejemplo, si el sistema es y = f (x1, x2), entonces cambiar el orden de x1 y x2 cambia la salida a y = f (x2, x1).

Aunque los sistemas no lineales son en general más difíciles de analizar y diseñar que los sistemas lineales, muchos sistemas físicos son naturalmente no lineales. Por ejemplo, el movimiento de un cuerpo rígido es generalmente no lineal, ya que las fuerzas que actúan sobre él pueden ser función de su velocidad. De hecho, la mayoría de los sistemas físicos reales son no lineales en cierta medida.

Algunos ejemplos de sistemas no lineales:

y = x²

y = |x|

y = sin (x)

y = e^x

y = log (x)

Como se puede ver, la función cuadrática y la función absoluta son no lineales, mientras que la función seno, la función exponencial y la función logaritmo son no lineales. En general, cualquier función que no sea una función lineal es una función no lineal.

Existen diferentes métodos para analizar sistemas no lineales. Uno de los más utilizados es el método de linearización, que consiste en aproximar la función no lineal por una función lineal en un punto dado. Otro método es el método de la grafica, que consiste en graficar la función y ver cómo cambia la salida con respecto a la entrada. Aunque estos métodos pueden ser útiles, en general no proporcionan una comprensión completa del sistema no lineal.

En general, el análisis de sistemas no lineales es un área muy activa de la investigación, y se han desarrollado muchos métodos sofisticados para analizar estos sistemas. Sin embargo, todavía hay mucho por aprender acerca de cómo analizar y diseñar sistemas no lineales.

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