Explicacion con Ejemplos Teorema Fundamental Del Calculo Integral 2 Bachillerato
El teorema fundamental del cálculo integral establece una correspondencia biunívoca entre antiderivadas y áreas. En otras palabras, el teorema dice que toda función continuamente derivable en un intervalo compacto [a, b] es integrable en ese intervalo, y que la integral de una función en un intervalo compacto [a, b] es única.
El teorema se enuncia de la siguiente manera:
Teorema: Sea f una función continua en el intervalo compacto [a, b]. Entonces, f es integrable en [a, b] y
∫abf(x)dx = F(b) – F(a)
donde F es una antiderivada de f.
El teorema fundamental del cálculo integral es uno de los pilares de la matemática, y es de vital importancia en muchas áreas de la ciencia, la ingeniería y la economía.
El teorema se puede generalizar a la integración en cualquier curva rectificable y a la integración en dimensiones más altas. También se puede generalizar al cálculo de Lebesgue, en el que el concepto de área se generaliza a un concepto más abstracto de medida.
Ejercicios Resueltos Teorema Fundamental Del Calculo Integral Matematicas 2 Bachillerato
Los integrales definidas o primitivas son una herramienta fundamental en matemáticas, que nos permiten calcular áreas, volúmenes y longitudes de curvas. En esta entrada vamos a ver cómo se integran funciones racionales fraccionarias, utilizando el teorema fundamental del cálculo integral.
Para integrar una función racional fraccionaria, lo primero que debemos hacer es simplificarla lo máximo posible. Esto significa descomponerla en fracciones parciales y aplicar el teorema de la fracción inversa.
Una vez que la función esté simplificada, debemos aplicar el teorema fundamental del cálculo integral. Este teorema establece que si f es una función integrable en el intervalo [a,b], entonces existe una función F tal que:
En otras palabras, el teorema fundamental del cálculo integral establece que la derivada de una función F es igual a f en todos los puntos del intervalo [a,b].
Por lo tanto, para integrar una función racional fraccionaria, debemos encontrar una función F tal que F‘=f. Esto se puede hacer utilizando el método de fracciones parciales.
El método de fracciones parciales consiste en descomponer la función f en fracciones parciales, de tal manera que sea más fácil encontrar una función F tal que F‘=f.
Por ejemplo, si f(x)=1/2x+1, podemos descomponerla en fracciones parciales de la siguiente manera:
f(x)=1/2x+1=1/2–1/2(2x+1)=1/2–1/4x+2+1/4(2x+1)}=…
De esta manera, podemos descomponer la función f en una serie de fracciones parciales, que son más fáciles de integrar. Para integrar cada una de estas fracciones parciales, podemos utilizar el método de sustitución.
Por ejemplo, si f(x)=1/2x+1, podemos descomponerla en fracciones parciales de la siguiente manera:
De esta manera, podemos descomponer la función f en una serie de fracciones parciales, que son más fáciles de integrar. Para integrar cada una de estas fracciones parciales, podemos utilizar el método de sustitución.
Por ejemplo, si f(x)=1/4x+2, podemos utilizar el método de sustitución para integrarla:
∫1/4x+2dx=∫1/udx, donde u=4x+2
∫1/udx=∫1/udu/du=ln|u|+C
∫1/4x+2dx=ln|4x+2|+C
De esta manera, podemos utilizar el método de fracciones parciales para integrar funciones racionales fraccionarias. Este método nos permite simplificar la función y encontrar una función F tal que F‘=f.
