Explicación de la trigonometría en matemáticas para el bachillerato
La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También se puede definir como el estudio de las funciones trigonométricas, que se derivan de la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo. La trigonometría se utiliza en una gran variedad de áreas de las matemáticas, la física y la ingeniería, y también se puede encontrar en la vida diaria.
Las funciones trigonométricas más comunes son la seno, el coseno y la tangente de un ángulo. Estas funciones se pueden utilizar para calcular la longitud de un lado de un triángulo si se conoce la longitud de otro lado y el ángulo que hay entre ellos. También se pueden utilizar para calcular ángulos, como el ángulo de inclinación de una línea, si se conoce la tangente del ángulo.
La trigonometría se originó en la antigua Babilonia, donde se utilizaban tablas para calcular las posiciones de los planetas. Los griegos también utilizaron la trigonometría para calcular las dimensiones de objetos, como el área de un círculo. En el siglo XVI, el matemático francés Pierre de Fermat desarrolló una nueva forma de calcular las tangentes de ángulos, que se conoce como la derivada. Esta derivada se utiliza en la trigonometría y otras áreas de las matemáticas.
La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. La trigonometría es una herramienta muy útil en muchas áreas de las matemáticas, la física y la ingeniería.
Los ejercicios de trigonometría pueden parecer difíciles, pero con un poco de práctica y paciencia, se pueden dominar. En este artículo, vamos a repasar algunos de los conceptos fundamentales de la trigonometría y luego resolver algunos ejercicios típicos. ¡Vamos a empezar!
Conceptos fundamentales
Para comprender la trigonometría, primero debemos comprender los conceptos fundamentales. Estos conceptos incluyen los siguientes:
Ángulos: Un ángulo es la medida de un arco en un círculo. Los ángulos se miden en grados o en radianes. Un grado es 1/360 de un círculo completo. Un radian es la medida de un arco en un círculo que tiene el mismo radio que el arco. Por ejemplo, si un arco mide 3 pies de largo y el radio es de 3 pies, entonces el arco mide 1 radian.
Lados: En trigonometría, llamamos a los lados de un triángulo los catetos y la hipotenusa. La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo. Los catetos son los lados más cortos. En la figura 1, los catetos son a y b, y la hipotenusa es c.
Ángulos notables: Hay tres ángulos notables que debemos conocer. Estos son el ángulo recto, el ángulo agudo y el ángulo obtuso. Un ángulo recto mide 90°. Un ángulo agudo mide menos de 90°. Un ángulo obtuso mide más de 90°. En la figura 1, los ángulos x, y y z son agudos. El ángulo w es un ángulo obtuso.
Triángulos notables: Hay tres triángulos notables que debemos conocer. Estos son el triángulo rectángulo, el triángulo isósceles y el triángulo equilátero. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales. Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales. En la figura 1, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo. El triángulo DEF es un triángulo isósceles. El triángulo GHI es un triángulo equilátero.
Una de las cosas más importantes que debemos aprender en trigonometría son las fórmulas trigonométricas. Estas fórmulas nos permiten relacionar los lados de un triángulo con los ángulos. Las fórmulas trigonométricas más importantes son:
Seno: El seno de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno: El coseno de un ángulo es el cociente entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Tangente: La tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo.
En la figura 2, podemos ver un ejemplo de cómo calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulo. En este ejemplo, estamos calculando el seno del ángulo a. Para hacer esto, dividimos el cateto opuesto (b) entre la hipotenusa (c).
Otra forma de recordar las fórmulas trigonométricas es usar la regla de la mano derecha. Para hacer esto, imagina que estás sosteniendo un triángulo en tu mano derecha. En la figura 3, podemos ver un ejemplo de cómo usar la regla de la mano derecha para recordar la fórmula del seno. En este ejemplo, el ángulo a es el ángulo que estamos medimos. El dedo índice es el cateto opuesto al ángulo. El dedo medio es el cateto adyacente al ángulo. El pulgar es la hipotenusa.
Usando la regla de la mano derecha, podemos ver que el seno del ángulo a es el cociente entre el cateto opuesto (el dedo índice) y la hipotenusa (el pulgar). De la misma manera, podemos usar la regla de la mano derecha para recordar las fórmulas del coseno y la tangente.
Ejercicios resueltos
Ahora que hemos repasado los conceptos fundamentales y las fórmulas trigonométricas, vamos a resolver algunos ejercicios típicos. ¡Vamos a empezar!
Ejercicio 1: En la figura 4, vemos un triángulo rectángulo. Sabiendo que el ángulo a es de 30°, calcule el valor de los lados a, b y c.
Para resolver este ejercicio, usaremos la fórmula del coseno. En la figura 4, podemos ver que el cateto adyacente al ángulo a es el lado b. La hipotenusa es el lado c. Por lo tanto, el coseno del ángulo a es igual a b/c.
Sabemos que el coseno de 30° es igual a 0,87. Por lo tanto, podemos calcular que b/c = 0,87. Si despejamos b, podemos calcular que b = 0,87c. Reemplazando b en la ecuación de la hipotenusa, podemos calcular que c2 = a2 + b2 = a2 + (0,87c)2.
Despejando c, podemos calcular que c = √(a2 / (1-0,872)). En este caso, a2 = b2 = 9. Por lo tanto, podemos calcular que c = √(9 / (1-0,872)) = 3,16.
Reemplazando c en la ecuación de b, podemos calcular que b = 0,87 · 3,16 = 2,74. Por lo tanto, los lados del triángulo son a = 3, b = 2,74 y c = 3,16.
Ejercicio 2: En la figura 5, vemos un triángulo rectángulo. Sabiendo que el ángulo a es de 45°, calcule el valor de los lados a, b y c.
Para resolver este ejercicio, usaremos la fórmula del tangente. En la figura 5, podemos ver que el cateto opuesto al ángulo a es el lado b. El cateto adyacente al ángulo a es el lado c. Por lo tanto, la tangente del ángulo a es igual a b/c.
Sabemos que la tangente de 45° es igual a 1. Por lo tanto, podemos calcular que b/c = 1. Reemplazando b en la ecuación de la hipotenusa, podemos calcular que c2 = a2 + b2 = a2 + c2.
Despejando a, podemos calcular que a2 = c2 – b2 = c2 – c2 = 0. Por lo tanto, a = 0.
Reemplazando a en la ecuación de c, podemos calcular que c2 = 0 + b2 = b2. Despejando b, podemos calcular que b = √c2 = c.
Por lo tanto, los lados del triángulo son a = 0, b = c y c = 2.
Ejercicio 3: En la figura 6, vemos un triángulo isósceles. Sabiendo que el ángulo a es de 60°, calcule el valor de los lados a, b y c.
Para resolver este ejercicio, usaremos la fórmula del seno. En la figura 6, podemos ver que el cateto opuesto al ángulo a es el lado b. La hipotenusa es el lado c. Por lo tanto, el seno del ángulo a es igual a b/c.
Sabemos que el seno de 60° es igual a 0,87. Por lo tanto, podemos calcular que b/c = 0,87. Reemplazando b en la ecuación de la hipotenusa, podemos calcular que c2 = a2 + b2 = a2 + (0,87c)2.
Despejando c, podemos calcular que c = √(a2 / (1-0,872)). En este caso, a2 = b2 = 9. Por lo tanto, podemos calcular que c = √(9 / (1-0,872)) = 3,16.
Reemplazando c en la ecuación de b, podemos calcular que b = 0,87 · 3,16 = 2,74. Por lo tanto, los lados del triángulo son a = 3, b = 2,74 y c = 3,16.
Ejercicio 4: En la figura 7, vemos un triángulo equilátero. Sabiendo que el ángulo a es de 60°, calcule el valor de los lados a, b y c.
Para resolver este ejercicio, usaremos la fórmula del coseno. En la figura 7, podemos ver que el cateto adyacente al ángulo a es el lado b. La hipotenusa es el lado c. Por lo tanto, el coseno del ángulo a es igual a b/c.
Sabemos que el coseno de 60° es igual a 0,5. Por lo tanto, podemos calcular que b/c = 0,5. Reemplazando b en la ecuación de la hipotenusa, podemos calcular que c2 = a2 + b2 = a2 + (0,5c)2.
Despejando c, podemos calcular que c = √(a2 / (1-0,52)). En este caso, a2 = b2 = 9. Por lo tanto, podemos calcular que c = √(9 / (1-0,52)) = 3.
Reemplazando c en la ecuación de b, podemos calcular que b = 0,5 · 3 = 1,5. Por lo tanto, los lados del triángulo son a = 3, b = 1,5 y c = 3.
Ejercicio 5: En la figura 8, vemos un triángulo. Sabiendo que el ángulo a es de 30° y que el lado a mide 3, calcule el valor de los lados b y c.
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