Explicacion y Ejemplos Numeros Combinatorios 4 ESO
Los números combinatorios son una rama de las matemáticas que se ocupa de la selección y el ordenamiento de objetos. En otras palabras, los números combinatorios tratan de responder a preguntas como: «¿Cuántas maneras hay de seleccionar X objetos de un conjunto de Y objetos?» o «¿Cuántas maneras hay de ordenar X objetos?»
Los números combinatorios son muy útiles en la vida diaria. Por ejemplo, si usted está planeando una fiesta y necesita saber cuántas maneras hay de sentar a 10 personas en 5 sillas, los números combinatorios pueden ayudarle a encontrar la respuesta. También son útiles en la ciencia y la tecnología, especialmente en la ingeniería y la informática.
Hay dos maneras principales de calcular números combinatorios: el método factorial y el método de selección. El método factorial es el más fácil de aprender, pero el método de selección es más versátil y puede ser aplicado a una variedad de problemas. Aprenderemos ambos métodos en esta lección.
Método Factorial
El método factorial es el más fácil de aprender y de aplicar. Se basa en el concepto de factorización, que es la descomposición de un número en un producto de números más pequeños. Por ejemplo, 12 se puede descomponer en el producto 2 x 2 x 3, lo cual se lee «2 a la segunda vez 3». De manera similar, podemos descomponer 60 en el producto 2 x 2 x 3 x 5, lo cual se lee «2 a la segunda vez 3 veces 5».
La factorización es muy útil para los números combinatorios porque nos permite cancelar factores comunes en una expresión. Por ejemplo, si queremos calcular el número de maneras en que podemos seleccionar 6 objetos de un conjunto de 10, podemos descomponer el número 10 en el producto 2 x 5 y el número 6 en el producto 2 x 3, y luego cancelar los factores comunes para obtener la respuesta: 2 x 3 x 5 = 30.
El método factorial se puede aplicar a cualquier problema de selección o ordenamiento, siempre y cuando podamos descomponer los números en productos de números más pequeños. A continuación se presentan algunos ejemplos para ilustrar cómo se puede aplicar este método.
Ejemplo 1
¿Cuántas maneras hay de seleccionar 4 objetos de un conjunto de 10?
En este problema, tenemos 10 objetos para seleccionar y 4 objetos que deben ser seleccionados. Podemos descomponer el número 10 en el producto 2 x 5 y el número 4 en el producto 2 x 2, y luego cancelar los factores comunes para obtener la respuesta: 2 x 2 x 5 = 40.
Ejemplo 2
¿Cuántas maneras hay de ordenar 6 objetos?
En este problema, tenemos 6 objetos para ordenar. Podemos descomponer el número 6 en el producto 2 x 3, y luego cancelar los factores comunes para obtener la respuesta: 2 x 3 = 12.
Ejemplo 3
¿Cuántas maneras hay de seleccionar 2 objetos de un conjunto de 4?
En este problema, tenemos 4 objetos para seleccionar y 2 objetos que deben ser seleccionados. Podemos descomponer el número 4 en el producto 2 x 2, y luego cancelar los factores comunes para obtener la respuesta: 2 x 2 = 4.
Método de Selección
El método de selección es un poco más complicado que el método factorial, pero también es más versátil. Se basa en el concepto de permutación, que es el ordenamiento de objetos en una secuencia específica. Por ejemplo, si tenemos 3 objetos A, B y C, podemos ordenarlos en 6 maneras diferentes: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA. Estas 6 secuencias se llaman permutaciones de 3 objetos.
La permutación es muy útil para los números combinatorios porque nos permite calcular el número de maneras en que podemos ordenar un conjunto de objetos. Por ejemplo, si tenemos 10 objetos, podemos ordenarlos en 10! permutaciones, que se lee «10 factorial».
El método de selección se puede aplicar a cualquier problema de selección o ordenamiento, siempre y cuando podamos descomponer el número en un producto de factoriales. A continuación se presentan algunos ejemplos para ilustrar cómo se puede aplicar este método.
Ejemplo 4
¿Cuántas maneras hay de seleccionar 4 objetos de un conjunto de 10?
En este problema, tenemos 10 objetos para seleccionar y 4 objetos que deben ser seleccionados. Podemos descomponer el número 10 en el producto 2 x 5, y luego cancelar los factores comunes para obtener la respuesta: 2 x 5 = 40.
Ejemplo 5
¿Cuántas maneras hay de ordenar 6 objetos?
En este problema, tenemos 6 objetos para ordenar. Podemos descomponer el número 6 en el producto 2 x 3, y luego cancelar los factores comunes para obtener la respuesta: 2 x 3 = 12.
Ejemplo 6
¿Cuántas maneras hay de seleccionar 2 objetos de un conjunto de 4?
En este problema, tenemos 4 objetos para seleccionar y 2 objetos que deben ser seleccionados. Podemos descomponer el número 4 en el producto 2 x 2, y luego cancelar los factores comunes para obtener la respuesta: 2 x 2 = 4.
Los números combinatorios son una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las posibles combinaciones que se pueden formar con un conjunto de elementos. En este artículo vamos a ver cómo resolver ejercicios de números combinatorios paso a paso, para que puedas internalizar bien el concepto y sacarle el máximo partido en tus exámenes.
Para empezar, vamos a ver qué elementos intervienen en un problema de números combinatorios. En general, tendremos un conjunto de objetos (que llamaremos elementos) y queremos saber cuántas combinaciones podemos hacer con ellos. Por ejemplo, imagina que tenemos un conjunto de 5 pelotas:
¿Cuántas combinaciones podemos hacer con estas pelotas? Pues bien, en números combinatorios se suele utilizar la notación nk para hablar de este tipo de combinaciones. En nuestro ejemplo, tenemos un conjunto de n elementos (n = 5) y queremos formar k combinaciones (k = 2). Por tanto, el número de combinaciones que podemos hacer es 52 = 25.
¿Cómo podemos llegar a esta solución? Bueno, en realidad es muy sencillo. Lo único que tenemos que hacer es contar todas las posibles combinaciones. En nuestro ejemplo, podemos hacer las siguientes combinaciones:
Pelota 1 y pelota 2
Pelota 1 y pelota 3
Pelota 1 y pelota 4
Pelota 1 y pelota 5
Pelota 2 y pelota 3
Pelota 2 y pelota 4
Pelota 2 y pelota 5
Pelota 3 y pelota 4
Pelota 3 y pelota 5
Pelota 4 y pelota 5
Como podemos ver, hay 10 combinaciones diferentes. Por tanto, el número de combinaciones que podemos hacer es 52 = 10.
Para resolver este tipo de ejercicios, lo único que tenemos que hacer es contar todas las posibles combinaciones. En nuestro ejemplo, podemos hacer las siguientes combinaciones:
Pelota 1 y pelota 2
Pelota 1 y pelota 3
Pelota 1 y pelota 4
Pelota 1 y pelota 5
Pelota 2 y pelota 3
Pelota 2 y pelota 4
Pelota 2 y pelota 5
Pelota 3 y pelota 4
Pelota 3 y pelota 5
Pelota 4 y pelota 5
Como podemos ver, hay 10 combinaciones diferentes. Por tanto, el número de combinaciones que podemos hacer es 52 = 10.
Este método de contar todas las posibles combinaciones es muy útil para problemas sencillos, pero cuando los conjuntos de elementos son muy grandes se hace imposible de realizar. Afortunadamente, existe una fórmula que nos permite calcular el número de combinaciones de forma rápida y sencilla. La fórmula es la siguiente:
En esta fórmula, n es el número de elementos del conjunto y k es el número de combinaciones que queremos formar. Por ejemplo, si tenemos un conjunto de 5 elementos y queremos formar 3 combinaciones, la fórmula sería la siguiente:
Como podemos ver, el resultado de la fórmula es 10. Esto significa que podemos hacer 10 combinaciones diferentes con un conjunto de 5 elementos.
La fórmula que acabamos de ver es muy útil, pero para poder utilizarla debemos conocer el valor de n y k. En muchos casos, estos valores no se nos dan directamente en el enunciado del problema, sino que debemos deducirlos a partir de la información que se nos da.
Veamos un ejemplo. Imagina que tenemos el siguiente enunciado:
Un grupo de amigos van a jugar a las cartas. ¿Cuántas manos de 5 cartas se pueden repartir entre ellos si disponen de un mazo de 52 cartas?
En este problema, lo primero que debemos hacer es identificar los elementos del conjunto. En este caso, los elementos son las cartas del mazo. Como el mazo tiene 52 cartas, el número de elementos es n = 52.
A continuación, debemos identificar el número de combinaciones que queremos formar. En este caso, queremos formar k = 5 combinaciones, ya que queremos repartir 5 cartas a cada uno de los amigos.
Por tanto, el número de combinaciones que podemos hacer es 525 = 3,125,000.
Este método de contar todas las posibles combinaciones es muy útil para problemas sencillos, pero cuando los conjuntos de elementos son muy grandes se hace imposible de realizar. Afortunadamente, existe una fórmula que nos permite calcular el número de combinaciones de forma rápida y sencilla. La fórmula es la siguiente:
En esta fórmula, n es el número de elementos del conjunto y k es el número de combinaciones que queremos formar. Por ejemplo, si tenemos un conjunto de 5 elementos y queremos formar 3 combinaciones, la fórmula sería la siguiente:
Como podemos ver, el resultado de la fórmula es 10. Esto significa que podemos hacer 10 combinaciones diferentes con un conjunto de 5 elementos.
La fórmula que acabamos de ver es muy útil, pero para poder utilizarla debemos conocer el valor de n y k. En muchos casos, estos valores no se nos dan directamente en el enunciado del problema, sino que debemos deducirlos a partir de la información que se nos da.
Veamos un ejemplo. Imagina que tenemos el siguiente enunciado:
Un grupo de amigos van a jugar a las cartas. ¿Cuántas manos de 5 cartas se pueden repartir entre ellos si disponen de un mazo de 52 cartas?
En este problema, lo primero que debemos hacer es identificar los elementos del conjunto. En este caso, los elementos son las cartas del mazo. Como el mazo tiene 52 cartas, el número de elementos es n = 52.
A continuación, debemos identificar el número de combinaciones que queremos formar. En este caso, queremos formar k = 5 combinaciones, ya que queremos repartir 5 cartas a cada uno de los amigos.
Por tanto, el número de combinaciones que podemos hacer es 525 = 3,125,000.
Este problema parece muy sencillo, pero en la mayoría de los casos los enunciados son mucho más complejos. Veamos un ejemplo un poco más difícil:
Un niño tiene 5 camisetas, 4 pantalones y 3 zapatos. ¿Cuántos conjuntos diferentes de ropa puede formar?
En este problema, lo primero que debemos hacer es identificar los elementos del conjunto. En este caso, los elementos son las camisetas, los pantalones y los zapatos. Como el niño tiene 5 camisetas, 4 pantalones y 3 zapatos, el número de elementos es n = 12.
A continuación, debemos identificar el número de combinaciones que queremos formar. En este caso, queremos formar k = 3 combinaciones, ya que queremos formar un conjunto con una camiseta, un pantalón y un zapato.
Por tanto, el número de combinaciones que podemos hacer es 123 = 1,728.
Como podemos ver, este problema es un poco más difícil, pero siguiendo los mismos pasos podemos llegar a la solución de forma sencilla. Si tienes cualquier duda, no dudes en dejar un comentario y te ayudaremos encantados.
