Explicacion con Ejemplos Integrales Inmediatas 2 Bachillerato
Explicacion de Integrales Inmediatas
En matemáticas, una integral inmediata es una operación matemática que se utiliza para encontrar el área bajo una curva. Se representa con el símbolo ∫. Se puede calcular la integral de una función en un intervalo dado, o de una función en una curva en el plano.
Para calcular una integral, se divide el área en pequeños rectángulos, se calcula el área de cada uno de ellos y se suman. Luego, se toma el límite de esta suma cuando el número de rectángulos tiende a infinito. Esto se puede representar matemáticamente como:
∫f(x)dx=lim_(n→∞)[sum_(i=1)^nf(x_i)Delta x]
Donde:
f(x) es la función a integrar
x es la variable independiente
dx es el cambio en x (un pequeño intervalo)
n es el número de rectángulos
Δx es el ancho de cada rectángulo (xi+1-xi)
xi es la abscisa del i-ésimo rectángulo
La integral de una función en un intervalo se puede calcular si se conoce la función y se conocen los límites del intervalo. La integral de una función en una curva se puede calcular si se conoce la función y se conocen las coordenadas de la curva. Para calcular la integral de una función, se utilizan las mismas reglas que se utilizan para calcular la derivada de una función.
Hay tres métodos principales para calcular integrales: el método de sumas de Riemann, el método de integración por partes y el método de sustitución. El método de sumas de Riemann es el método más comúnmente utilizado para calcular integrales. El método de integración por partes se utiliza cuando una integral involucra una función de la forma f(x)g(x). El método de sustitución se utiliza cuando una integral involucra una función de la forma f(g(x)).
Las integrales inmediatas se pueden utilizar para resolver problemas en física y en ingeniería. Por ejemplo, se pueden utilizar para calcular el área de una superficie o el volumen de un cuerpo. También se pueden utilizar para calcular el tiempo de un movimiento o el área de una figura en un plano.
Resolver integrales inmediatas es una de las tareas más difíciles que enfrentan los estudiantes de matemáticas en el segundo año de bachillerato. Sin embargo, con un poco de práctica y los ejercicios resueltos correctos, se puede dominar este tema. A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos de integrales inmediatas para ayudar a los estudiantes a comprender mejor el concepto.
Calcule la integral inmediata de f (x) = x ^ 2 en el intervalo [0, 1].
Solución:
Para resolver esta integral, utilizaremos el método de integración por partes. Comenzamos calculando la primera parte de la integral, F (x) = x ^ 3 / 3. Luego, calculamos la segunda parte de la integral, G (x) = x. Finalmente, calculamos la integral de F (x) y G (x) en el intervalo [0, 1].
F (x) = x ^ 3 / 3
G (x) = x
Por lo tanto, la integral de f (x) = x ^ 2 en el intervalo [0, 1] es F (1) – F (0) + G (1) – G (0), que es igual a 1 / 3 + 1 – 0 + 0 – 0 = 1.
Ejercicio 2:
Calcule la integral inmediata de f (x) = e ^ x en el intervalo [0, 1].
Solución:
Para resolver esta integral, utilizaremos el método de integración por partes. Comenzamos calculando la primera parte de la integral, F (x) = e ^ x. Luego, calculamos la segunda parte de la integral, G (x) = x. Finalmente, calculamos la integral de F (x) y G (x) en el intervalo [0, 1].
F (x) = e ^ x
G (x) = x
Por lo tanto, la integral de f (x) = e ^ x en el intervalo [0, 1] es F (1) – F (0) + G (1) – G (0), que es igual a e – 1 + 1 – 0 + 0 – 0 = e.
Ejercicio 3:
Calcule la integral inmediata de f (x) = x ^ 4 – 2x ^ 2 + 1 en el intervalo [-1, 1].
Solución:
Para resolver esta integral, utilizaremos el método de integración por partes. Comenzamos calculando la primera parte de la integral, F (x) = x ^ 5 / 5. Luego, calculamos la segunda parte de la integral, G (x) = x ^ 3. Finalmente, calculamos la integral de F (x) y G (x) en el intervalo [-1, 1].
Por lo tanto, la integral de f (x) = x ^ 4 – 2x ^ 2 + 1 en el intervalo [-1, 1] es F (1) – F (-1) + G (1) – G (-1), que es igual a 1 / 5 + 1 + 1 / 5 – 1 – 1 = .
Ejercicio 4:
Calcule la integral inmediata de f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) en el intervalo [0, 1].
Solución:
Para resolver esta integral, utilizaremos el método de integración por partes. Comenzamos calculando la primera parte de la integral, F (x) = tan ^ -1 (x). Luego, calculamos la segunda parte de la integral, G (x) = x. Finalmente, calculamos la integral de F (x) y G (x) en el intervalo [0, 1].
F (x) = tan ^ -1 (x)
G (x) = x
Por lo tanto, la integral de f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) en el intervalo [0, 1] es F (1) – F (0) + G (1) – G (0), que es igual a tan ^ -1 (1) + 1 – 0 + 0 – 0 = pi / 4.
