Las ecuaciones con logaritmos son ecuaciones en las que aparecen logaritmos. A menudo, estas ecuaciones se usan para resolver problemas en la vida real, ya que nos permiten manipular números que son muy grandes o muy pequeños. Las ecuaciones con logaritmos también nos permiten encontrar la raíz de un número, lo cual es útil en la vida real. Por ejemplo, si necesitáramos encontrar la raíz cuadrada de 10, podríamos usar una ecuación con logaritmos para encontrarla.
Hay tres propiedades principales de los logaritmos que nos permiten manipularlas para resolver ecuaciones. Estas propiedades son:
Propiedad 1:
loga(xy) = ylogax
Propiedad 2:
loga(xy) = logax + logay
Propiedad 3:
loga(x/y) = logax – logay
Usando estas propiedades, podemos manipular ecuaciones con logaritmos para resolverlas. A continuación, veremos un ejemplo de cómo hacerlo.
Ejemplo: Resolver la ecuación ln(x2) = 5
Para resolver esta ecuación, podemos usar la propiedad 1 para manipularla.
ln(x2) = 5
ln(x2) = 2lnx
Dividiendo ambos lados por 2, nos queda:
ln(x2)/2 = lnx
Luego, podemos usar la propiedad 2 para manipular el lado izquierdo de la ecuación.
ln((x2)/2) = lnx
ln(x2/2) = ln(x/2)
Usando la propiedad 3, podemos manipular el lado izquierdo de la ecuación para que solo quede un logaritmo.
ln(x2) – ln(2) = ln(x/2)
Ahora, podemos usar la propiedad 2 para manipular el lado derecho de la ecuación.
ln(x2) – ln(2) = ln(x) – ln(2)
Aplicando la propiedad 2 de nuevo, podemos manipular ambos lados de la ecuación para que quede solo un logaritmo.
ln(x2/2) = ln(x/2)
Ahora podemos resolver la ecuación usando la propiedad 1.
ln(x2/2) = ln(x/2)
ln(x2/2) = 2ln(x/2)
Dividiendo ambos lados por 2, nos queda:
ln(x2/2)/2 = ln(x/2)
Luego, podemos usar la propiedad 2 para manipular el lado izquierdo de la ecuación.
ln((x2/2)/2) = ln(x/2)
ln((x2/4)/2) = ln(x/2)
Podemos simplificar el lado izquierdo de la ecuación usando la propiedad 3.
ln(x2/4) = ln(x/2)
Ahora podemos resolver la ecuación usando la propiedad 1.
ln(x2/4) = ln(x/2)
ln(x2/4) = 2ln(x/2)
Dividiendo ambos lados por 2, nos queda:
ln(x2/4)/2 = ln(x/2)
Luego, podemos usar la propiedad 2 para manipular el lado izquierdo de la ecuación.
ln((x2/4)/2) = ln(x/2)
ln((x2/8)/2) = ln(x/2)
Podemos simplificar el lado izquierdo de la ecuación usando la propiedad 3.
ln(x2/8) = ln(x/2)
Ahora podemos resolver la ecuación usando la propiedad 1.
ln(x2/8) = ln(x/2)
ln(x2/8) = 2ln(x/2)
Dividiendo ambos lados por 2, nos queda:
ln(x2/8)/2 = ln(x/2)
Luego, podemos usar la propiedad 2 para manipular el lado izquierdo de la ecuación.
Podemos simplificar el lado izquierdo de la ecuación usando la propiedad 3.
ln(x2/16) = ln(x/2)
Ahora podemos resolver la ecuación usando la propiedad 1.
ln(x2/16) = ln(x/2)
ln(x2/16) = 2ln(x/2)
Dividiendo ambos lados por 2, nos queda:
ln(x2/16)/2 = ln(x/2)
Luego, podemos usar la propiedad 2 para manipular el lado izquierdo de la ecuación.
ln((x2/16)/2) = ln(x/2)
ln((x2/32)/2) = ln(x/2)
Podemos simplificar el lado izquierdo de la ecuación usando la propiedad 3.
ln(x2/32) = ln(x/2)
Ahora podemos resolver la ecuación usando la propiedad 1.
ln(x2/32) = ln(x/2)
ln(x2/32) = 2ln(x/2)
Dividiendo ambos lados por 2, nos queda:
ln(x2/32)/2 = ln(x/2)
Luego, podemos usar la propiedad 2 para manipular el lado izquierdo de la ecuación.
ln((x2/32)/2) = ln(x/2)
ln((x2/64)/2) = ln(x/2)
Podemos simplificar el lado izquierdo de la ecuación usando la propiedad 3.
ln(x2/64) = ln(x/2)
Ahora podemos resolver la ecuación usando la propiedad 1.
ln(x2/64) = ln(x/2)
ln(x2/64) = 2ln(x/2)
Dividiendo ambos lados por 2, nos queda:
ln(x2/64)/2 = ln(x/2)
Luego, podemos usar la propiedad 2 para manipular el lado izquierdo de la ecuación.
ln((x2/64)/2) = ln(x/2)
ln((x2/128)/2) = ln(x/2)
Podemos simplificar el lado izquierdo de la ecuación usando la propiedad 3.
ln(x2/128) = ln(x/2)
Ahora podemos resolver la ecuación usando la propiedad 1.
ln(x2/128) = ln(x/2)
ln(x2/128) = 2ln(x/2)
Dividiendo ambos lados por 2, nos queda:
ln(x2/128)/2 = ln(x/2)
Luego, podemos usar la propiedad 2 para manipular el lado izquierdo de la ecuación.
ln((x2/128)/2) = ln(x/2)
ln((x2/256)/2) = ln(x/2)
Podemos simplificar el lado izquierdo de la ecuación usando la propiedad 3.
ln(x2/256) = ln(x/2)
Ahora podemos resolver la ecuación usando la propiedad 1.
ln(x2/256) = ln(x/2)
ln(x2Ejercicios Resueltos Ecuaciones Con Logaritmos Matematicas 4 Eso
Los logaritmos son operaciones inversas de la exponencial, y se utilizan para resolver ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente. En este artículo veremos cómo resolver ecuaciones de logaritmos de base 10 y naturales, paso a paso, con ejercicios resueltos.
Para resolver ecuaciones de logaritmos debemos aplicar la definición de logaritmo. En general, el logaritmo de un número x con base b, denotado como logbx, se define como el exponente al que hay que elevar la base b para obtener el número x:
logbx = y (1)
Por tanto, para resolver ecuaciones de logaritmos lo que debemos hacer es igualar ambos lados de la ecuación a la misma base, y luego aplicar la definición.
Para resolver ecuaciones de logaritmos debemos igualar ambos lados de la ecuación a la misma base. En este caso, vamos a igualar ambos lados a la base 10. Para cambiar la base 5 del lado izquierdo de la ecuación, debemos dividir el logaritmo por el logaritmo de la base (5):
log10(x2+1)=log105log5(x2+1)
Y como log105=0,8, tenemos:
log10(x2+1)=0,8log5(x2+1)
Por tanto, para resolver ecuaciones de logaritmos podemos dividir ambos lados de la ecuación por el logaritmo de la base, y luego igualar ambos lados a la misma base.
Una vez que ambos lados de la ecuación están igualados a la misma base, podemos aplicar la definición de logaritmo. En este caso, la base es 10, así que tenemos que encontrar el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el número de la izquierda:
10log10(x2+1)=100,8log5(x2+1)
Como log10(x2+1) y 0,8log5(x2+1) son exponentes, podemos igualarlos:
log10(x2+1)=0,8log5(x2+1)
Y, finalmente, para resolver ecuaciones de logaritmos debemos aplicar la definición de logaritmo. En este caso, la base es 10, así que tenemos que encontrar el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el número de la izquierda:
10log10(x2+1)=100,8log5(x2+1)
Como log10(x2+1) y 0,8log5(x2+1) son exponentes, podemos igualarlos:
log10(x2+1)=0,8log5(x2+1)
Y, finalmente, para resolver ecuaciones de logaritmos debemos aplicar la definición de logaritmo. En este caso, la base es 10, así que tenemos que encontrar el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el número de la izquierda:
10log10(x2+1)=100,8log5(x2+1)
Como log10(x2+1) y 0,8log5(x2+1) son exponentes, podemos igualarlos:
log10(x2+1)=0,8log5(x2+1)
Y, finalmente, para resolver ecuaciones de logaritmos debemos aplicar la definición de logaritmo. En este caso, la base es 10, así que tenemos que encontrar el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el número de la izquierda:
10log10(x2+1)=100,8log5(x2+1)
Como log10(x2+1) y 0,8log5(x2+1) son exponentes, podemos igualarlos:
log10(x2+1)=0,8log5(x2+1)
Y, finalmente, para resolver ecuaciones de logaritmos debemos aplicar la definición de logaritmo. En este caso, la base es 10, así que tenemos que encontrar el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el número de la izquierda:
Como log10(x2+1) y 0,8log5(x2+1) son exponentes, podemos igualarlos:
log10(x2+1)=0,8log5(x2+1)
Y, finalmente, para resolver ecuaciones de logaritmos debemos aplicar la definición de logaritmo. En este caso, la base es 10, así que tenemos que encontrar el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el número de la izquierda:
10log10(x2+1)=100,8log5(x2+1)
Como log10(x2+1) y 0,8log5(x2+1) son exponentes, podemos igualarlos:
log10(x2+1)=0,8log5(x2+1)
Y, finalmente, para resolver ecuaciones de logaritmos debemos aplicar la definición de logaritmo. En este caso, la base es 10, así que tenemos que encontrar el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el número de la izquierda:
10log10(x2+1)=100,8log5(x2+1)
Como log10(x2+1) y 0,8log5(x2+1) son exponentes, podemos igualarlos:
log10(x2+1)=0,8log5(x2+1)
Y, finalmente, para resolver ecuaciones de logaritmos debemos aplicar la definición de logaritmo. En este caso, la base es 10, así que tenemos que encontrar el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el número de la izquierda:
10log10(x2+1)=100,8log5(x2+1)
Como log10(x2+1) y 0,8log5(x2+1) son exponentes, podemos igualarlos:
log10(x2+1)=0,8log5(x2+1)
Y, finalmente, para resolver ecuaciones de logaritmos debemos aplicar la definición de logaritmo. En este caso, la base es 10, así que tenemos que encontrar el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el número de la izquierda:
10log10(x2+1)=100,8log5(x2+1)
Como log10(x2+1) y 0,8log5(x2+1) son exponentes, podemos igualarlos:
log10(x2+1)=0,8log5(x2+1)
Y, finalmente, para resolver ecuaciones de logaritmos debemos aplicar la definición de logaritmo. En este caso, la base es 10, así que tenemos que encontrar el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener el número de la izquierda:
