La distribución normal es una de las más importantes en estadística. Se produce cuando la media de una muestra es igual a la media de la población y la varianza de la muestra es igual a la varianza de la población.
La distribución normal se representa en un diagrama de densidad de probabilidad. En este diagrama, la altura de la curva en cualquier punto es igual a la probabilidad de que ocurra un valor determinado.
La distribución normal tiene dos parámetros: la media (que se representa con la letra griega μ) y la desviación típica (que se representa con la letra griega σ).
La media es el valor promedio de todos los valores de la muestra. La desviación típica es una medida de dispersión. Cuanto mayor sea la desviación típica, más dispersos serán los valores.
La distribución normal tiene la siguiente forma:
La curva de la distribución normal tiene una forma simétrica. Esto significa que si se divide en dos a partir de la media, ambas mitades serán iguales.
La distribución normal se caracteriza por tener una cima. La cima se encuentra en el punto de la media. A partir de la cima, la curva va decaído de manera suave a ambos lados.
La distribución normal tiene la siguiente forma:
La distribución normal se utiliza en muchos campos de la estadística. Se utiliza para modelar muchos fenómenos naturales. También se utiliza en procesos industriales, médicos y financieros.
La distribución normal también se conoce como curva normal o curva Gaussiana. Esto se debe a que fue descubierta por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss.
Ejercicios Resueltos Distribucion Normal Matematicas 2 Bachillerato
En esta entrada vamos a ver unos ejercicios resueltos de distribución normal. La distribución normal es una de las distribuciones de probabilidad más importantes en estadística y en ciencias de la computación. Se trata de una distribución de probabilidad continua que se caracteriza porque la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal está definida por una curva llamada «curva normal o campana de Gauss».
La curva normal se caracteriza porque tiene una forma «campana» y es simétrica respecto a la media. La media de una variable aleatoria normal es el valor que se espera que tenga la variable (el valor que más se repite en la variable). La desviación estándar de una variable aleatoria normal es una medida de la dispersión de los valores de la variable alrededor de la media. Cuanto mayor sea la desviación estándar, mayor será la dispersión de los valores de la variable.
La curva normal tiene dos parámetros: media μ y desviación estándar σ. La media μ es el valor que se espera que tenga la variable y la desviación estándar σ es una medida de la dispersión de los valores de la variable alrededor de la media. La curva normal se puede representar de la siguiente forma:
En el eje x tenemos la variable aleatoria x y en el eje y la función de densidad de probabilidad de la variable x. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria x es una función matemática que nos dice la probabilidad de que la variable x tome un valor comprendido entre a y b. En el caso de la curva normal, la función de densidad de probabilidad está definida por la siguiente fórmula:
Donde μ es la media de la variable aleatoria x y σ es la desviación estándar de la variable x. La constante e2π es una constante matemática que se aproxima a 2,71828. La función matemática φ(x) se conoce como función de densidad de probabilidad de la variable x. Esta función nos dice la probabilidad de que la variable x tome un valor comprendido entre -∞ y x.
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria x puede representarse gráficamente de la siguiente forma:
La curva roja representa la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria x con media μ = 0 y desviación estándar σ = 1. La función φ(x) es la función de densidad de probabilidad de la variable x. Esta función nos dice la probabilidad de que la variable x tome un valor comprendido entre -∞ y x. En el gráfico podemos ver que la función φ(x) es una función continua y que tiene un máximo en x = 0.
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria x se puede usar para calcular la probabilidad de que la variable x tome un valor comprendido entre a y b. Para calcular esta probabilidad se usa la siguiente fórmula:
Donde μ es la media de la variable aleatoria x, σ es la desviación estándar de la variable x, a es el valor mínimo del intervalo de probabilidad y b es el valor máximo del intervalo de probabilidad. La función φ(x) es la función de densidad de probabilidad de la variable x. Esta función nos dice la probabilidad de que la variable x tome un valor comprendido entre -∞ y x.
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria x se puede usar para calcular la probabilidad de que la variable x tome un valor menor o igual que a. Para calcular esta probabilidad se usa la siguiente fórmula:
Donde μ es la media de la variable aleatoria x, σ es la desviación estándar de la variable x y a es el valor máximo del intervalo de probabilidad. La función φ(x) es la función de densidad de probabilidad de la variable x. Esta función nos dice la probabilidad de que la variable x tome un valor comprendido entre -∞ y x.
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria x se puede usar para calcular la probabilidad de que la variable x tome un valor mayor o igual que a. Para calcular esta probabilidad se usa la siguiente fórmula:
Donde μ es la media de la variable aleatoria x, σ es la desviación estándar de la variable x y a es el valor mínimo del intervalo de probabilidad. La función φ(x) es la función de densidad de probabilidad de la variable x. Esta función nos dice la probabilidad de que la variable x tome un valor comprendido entre -∞ y x.
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria x se puede usar para calcular la probabilidad de que la variable x tome un valor mayor que a. Para calcular esta probabilidad se usa la siguiente fórmula:
Donde μ es la media de la variable aleatoria x, σ es la desviación estándar de la variable x y a es el valor mínimo del intervalo de probabilidad. La función φ(x) es la función de densidad de probabilidad de la variable x. Esta función nos dice la probabilidad de que la variable x tome un valor comprendido entre -∞ y x.
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria x se puede usar para calcular la probabilidad de que la variable x tome un valor menor que a. Para calcular esta probabilidad se usa la siguiente fórmula:
Donde μ es la media de la variable aleatoria x, σ es la desviación estándar de la variable x y a es el valor máximo del intervalo de probabilidad. La función φ(x) es la función de densidad de probabilidad de la variable x. Esta función nos dice la probabilidad de que la variable x tome un valor comprendido entre -∞ y x.
En la siguiente entrada vamos a ver unos ejercicios de distribución normal resueltos paso a paso. Todos los ejercicios están sacados del libro Ejercicios de estadística descriptiva y probabilidades de José M. Sarabia Pérez. Si te gustan este tipo de ejercicios, te recomiendo que te hagas con este libro, ya que tiene una gran variedad de ejercicios de estadística descriptiva y de probabilidades.
Ejercicio 1: Una variable aleatoria x tiene una función de densidad de probabilidad de la forma:
Calcular:
a) La media de x.
b) La varianza de x.
c) La desviación típica de x.
Solución: Para resolver este ejercicio, vamos a usar la fórmula de la media de una variable aleatoria:
Donde xi es un valor de la variable x y P(xi) es la probabilidad de que la variable x tome el valor xi. En este ejercicio nos dan la función de densidad de probabilidad de la variable x, por lo que podemos calcular directamente la probabilidad P(xi).
La media de la variable x es el valor que más se repite en la variable. En este ejercicio, la media de la variable x es el valor que se repite más veces en la función de densidad de probabilidad de la variable x. Podemos ver que el valor que más se repite en la función de densidad de probabilidad de la variable x es x = 0. Por lo tanto, la media de la variable x es μ = 0.
La varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersión de los valores de la variable alrededor de la media. En este ejercicio, la varianza de la variable x es σ2 = 0,25. La desviación típica de una variable aleatoria es la raíz cuadrada de la varianza de la variable. En este ejercicio, la desviación típica de la variable x es σ = 0,5.
Ejercicio 2: Una variable aleatoria x tiene una función de densidad de probabilidad de la forma:
Calcular:
a) La media de x.
b) La varianza de x.
c) La desviación típica de x.
Solución: Para resolver este ejercicio, vamos a usar la fórmula de la media de una variable aleatoria:
Donde xi es un valor de la variable x y P(xi) es la probabilidad de que la variable x tome el valor xi. En este ejercicio nos dan la función de densidad de probabilidad de la variable x, por lo que podemos calcular directamente la probabilidad P(xi).
La media de la variable x es el valor que más se repite en la variable. En este ejercicio, la media de la variable x es el valor que se repite más veces en la función de densidad de probabilidad de la variable x. Podemos ver que el valor que más se repite en la función de densidad de probabilidad de la variable x es x = 1. Por lo tanto, la media de la variable x es μ = 1.
La varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersión de los valores de la variable alrededor de la media. En este ejercicio, la varianza de la variable x es σ2 = 0,25. La desviación típica de una variable aleatoria es la raíz cuadrada de la varianza de la variable. En este ejercicio, la desviación típica de la variable x es σ = 0,5.
