Las ecuaciones matemáticas son una herramienta indispensable para comprender y resolver muchos problemas cotidianos. Desde el cálculo de la hipotenusa de un triángulo hasta la determinación de la cantidad de agua que cabría en una piscina, las ecuaciones nos permiten establecer relaciones y encontrar soluciones a muchos problemas.
En la escuela, el estudio de las ecuaciones se suele iniciar en 1º de Bachillerato, cuando los alumnos deben aprender a manipularlas y resolverlas. Aunque en un principio puedan parecer difíciles de entender, con un poco de práctica y de perseverancia se pueden dominar perfectamente.
Para comprender cómo funcionan las ecuaciones, es importante conocer algunos de los términos que se utilizan para describirlas:
Variable: es un símbolo que se utiliza en una ecuación para representar un número desconocido. Por ejemplo, en la ecuación x+3=5, la variable es x.
Término: es una expresión que contiene una o más variables. Los términos se pueden agrupar en función de la variable que contienen. En la ecuación x+3=5, los términos son x e 3.
Coeficiente: es el número que multiplica a una variable en un término. En la ecuación 2x+3=5, el coeficiente de la variable x es 2.
Lado izquierdo (L.I.): es el lado de la ecuación en el que se encuentra el término sin la variable. En la ecuación 2x+3=5, el L.I. es 2x+3.
Lado derecho (L.D.): es el lado de la ecuación en el que se encuentra el término sin la variable. En la ecuación 2x+3=5, el L.D. es 5.
Ecuación equivalente: es una ecuación en la que los términos se han reorganizado, pero que mantiene la misma solución. Por ejemplo, la ecuación 2x+3=5 es equivalente a la ecuación x+3=2.
Una de las formas más comunes de resolver ecuaciones es aplicando la regla de tres. Se trata de un método muy útil para resolver problemas de conversión de unidades o de porcentajes, entre otros. La regla de tres se puede aplicar de tres maneras diferentes, en función de lo que se desee calcular:
Directa: se utiliza cuando se conocen el valor de las dos variables y se desea calcular el valor de la tercera. Por ejemplo: Si en una caja hay 12 lápices y son 24 en total, ¿cuántos lápices habrá en dos cajas?
Inversa: se utiliza cuando se conocen el valor de las dos variables y se desea calcular el valor de la variable que está en el denominador. Por ejemplo: Si en una caja hay 12 lápices y son 24 en total, ¿cuántas cajas serán necesarias para albergar 36 lápices?
Compuesta: se utiliza cuando se conocen el valor de las tres variables, pero se desea calcular el valor de una de ellas en función de otra. Por ejemplo: Si en una caja hay 12 lápices y son 24 en total, ¿cuántos lápices habrá en tres cajas?
Otra forma de resolver ecuaciones es utilizando la forma canonical de las mismas. Se trata de un método que permite resolver ecuaciones de manera más rápida y eficaz, sobre todo cuando se trata de ecuaciones con más de una variable. La forma canonical de una ecuación se obtiene realizando las siguientes operaciones:
Se coloca la ecuación de tal manera que todos los términos sin variable queden del lado derecho de la ecuación (L.D.).
Se realizan las operaciones necesarias para que todos los términos del lado izquierdo de la ecuación (L.I.) contengan la misma variable. Por ejemplo, en la ecuación 3x+5=2x+8, se debe restar 5 a ambos lados de la ecuación para que quede 3x=2x+3.
Se realizan las operaciones necesarias para que en el lado izquierdo de la ecuación no quede ningún término. Por ejemplo, en la ecuación 3x=2x+3, se debe restar 2x a ambos lados de la ecuación para que quede x=3.
Una vez que se ha obtenido la forma canonical de la ecuación, la variable queda sola en un lado de la ecuación y el resultado de la ecuación es el número que se encuentra del otro lado.
Otro método muy utilizado para resolver ecuaciones es el método de sustitución. Se trata de un método sencillo y eficaz que permite resolver ecuaciones con una o más variables. El método de sustitución se basa en la identidad algebraica, que establece que en una ecuación, si se sustituye un término por otro equivalente, el resultado de la ecuación no cambia.
Por ejemplo, en la ecuación x+3=5, si se sustituye el término 3 por 5-x, se obtiene la ecuación x+(5-x)=5. Como 5-x es equivalente a 3, la ecuación x+(5-x)=5 es equivalente a x+3=5 y, por tanto, tiene la misma solución.
Para aplicar el método de sustitución, se deben seguir los siguientes pasos:
Se identifican las variables de la ecuación y se elige una de ellas para sustituirla en todos los términos de la ecuación.
Se sustituye la variable seleccionada en todos los términos de la ecuación por el equivalente que se desee utilizar.
Se realizan las operaciones necesarias para resolver la ecuación y se obtiene el valor de la variable.
El método de factorización es otro método muy utilizado para resolver ecuaciones. Se trata de un método que permite transformar una ecuación en otra equivalente, pero más fácil de resolver. Para aplicar el método de factorización, se deben seguir los siguientes pasos:
Se identifican los términos de la ecuación que se pueden factorizar.
Se factorizan los términos seleccionados.
Se realizan las operaciones necesarias para resolver la ecuación y se obtiene el valor de la variable.
Por ejemplo, en la ecuación x^2-5x+6=0, los términos x^2-6 y x-6 se pueden factorizar. Si se factorizan estos términos, la ecuación queda transformada en la ecuación (x-2)(x-3)=0, que es más fácil de resolver.
El método de eliminación es otro método muy utilizado para resolver ecuaciones. Se trata de un método que permite transformar una ecuación en otra equivalente, pero más fácil de resolver. Para aplicar el método de eliminación, se deben seguir los siguientes pasos:
Se identifican las variables de la ecuación y se elige una de ellas para eliminarla de todos los términos de la ecuación.
Se aplican las operaciones necesarias para eliminar la variable seleccionada de todos los términos de la ecuación.
Se realizan las operaciones necesarias para resolver la ecuación y se obtiene el valor de la variable.
Por ejemplo, en la ecuación 2x+3y=5, si se elimina la variable x de todos los términos de la ecuación, se obtiene la ecuación 3y=5, que es más fácil de resolver.
El método de graficación es otro método muy utilizado para resolver ecuaciones. Se trata de un método que permite representar gráficamente la ecuación y encontrar la intersección de las curvas representadas. Para aplicar el método de graficación, se deben seguir los siguientes pasos:
Se representa gráficamente la ecuación.
Se encuentra la intersección de las curvas representadas.
Se calcula el valor de la variable.
Por ejemplo, en la ecuación y=2x+1, si se representa gráficamente la ecuación, se obtiene la siguiente representación:
La intersección de las curvas representadas se encuentra en el punto (0,1). Por tanto, el valor de la variable x es .
El método de la raíz cuadrada es otro método muy utilizado para resolver ecuaciones. Se trata de un método que permite transformar una ecuación en otra equivalente, pero más fácil de resolver. Para aplicar el método de la raíz cuadrada, se deben seguir los siguientes pasos:
Se identifican los términos de la ecuación que se pueden factorizar.
Se factorizan los términos seleccionados.
Se realizan las operaciones necesarias para resolver la ecuación y se obtiene el valor de la variable.
Por ejemplo, en la ecuación x^2+4=0, el término x^2 se puede factorizar. Si se factoriza este término, la ecuación queda transformada en la ecuación (x+2
Los ejercicios de ecuaciones de primer grado son muy importantes para la preparación de exámenes y concursos, porque nos permiten evaluar nuestros conocimientos y habilidades en el área de las matemáticas. En este artículo, te presentamos una serie de ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado, para que puedas practicar y mejorar tus habilidades en este campo.
Ejercicio 1
Resolver la siguiente ecuación:
3x – 5 = 13
Solución:
Primero, debemos sumar 5 a cada lado de la ecuación:
3x – 5 + 5 = 13 + 5
3x = 18
Finalmente, debemos dividir cada lado de la ecuación entre 3:
3x/3 = 18/3
x = 6
Ejercicio 2
Resolver la siguiente ecuación:
4x + 7 = –9
Solución:
Primero, debemos restar 7 a cada lado de la ecuación:
4x + 7 – 7 = –9 – 7
4x = –16
Finalmente, debemos dividir cada lado de la ecuación entre 4:
4x/4 = –16/4
x = –4
Ejercicio 3
Resolver la siguiente ecuación:
6x – 4 = 14
Solución:
Primero, debemos sumar 4 a cada lado de la ecuación:
6x – 4 + 4 = 14 + 4
6x = 18
Finalmente, debemos dividir cada lado de la ecuación entre 6:
6x/6 = 18/6
x = 3
Ejercicio 4
Resolver la siguiente ecuación:
5x + 8 = –3
Solución:
Primero, debemos restar 8 a cada lado de la ecuación:
5x + 8 – 8 = –3 – 8
5x = –11
Finalmente, debemos dividir cada lado de la ecuación entre 5:
5x/5 = –11/5
x = –2.2
Ejercicio 5
Resolver la siguiente ecuación:
7x + 4 = 16
Solución:
Primero, debemos restar 4 a cada lado de la ecuación:
7x + 4 – 4 = 16 – 4
7x = 12
Finalmente, debemos dividir cada lado de la ecuación entre 7:
