Ejercicios Sistemas De Ecuaciones No Lineales 4 ESO con Soluciones PDF

Sistemas De Ecuaciones No Lineales 4 ESO

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Los sistemas de ecuaciones no lineales surgen cuando, en un sistema de ecuaciones, aparecen funciones exponenciales, logaritmos, etc. En estos casos, el método de sustitución o eliminación no funciona, y hay que usar otros métodos, como el método de Newton-Raphson.

Para entender el método de Newton-Raphson, es necesario saber cómo se calcula la derivada de una función. La derivada de una función f(x) en un punto x0 es el límite, cuando este se acerca a cero, de la siguiente expresión:

Este límite se puede interpretar como el cociente entre el cambio en f(x) (que es igual a f(x0+h)-f(x0)) y el cambio en x (que es h).

La derivada nos sirve para calcular la tangente a una curva en un punto dado. En el caso de la función f(x) = x2, la derivada en x0 es f'(x0) = 2×0, y la tangente en x0 es la recta y = 2×0(x-x0) + f(x0).

El método de Newton-Raphson consiste en aproximar la solución de una ecuación no lineal, x*, mediante la tangente a su curva en un punto cercano a x*.

El método de Newton-Raphson se basa en la iteración de la siguiente fórmula:

Donde xn+1 es la aproximación de la solución en el n+1 iteración, xn es la aproximación de la solución en la iteración n, f(x) es la función, y f'(x) es su derivada.

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Para entender el funcionamiento del método, vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

La solución de este sistema es x* = 1. Para resolverlo mediante el método de Newton-Raphson, elegimos un valor inicial x0, y calculamos x1 mediante la fórmula anterior. Luego, calculamos x2, x3, … hasta que la diferencia entre xn y xn+1 sea lo suficientemente pequeña. En el ejemplo, elegimos x0 = 0:

Como podemos ver, a partir de la tercera iteración, xn = xn+1, y la diferencia es cero. Esto quiere decir que hemos encontrado la solución, x* = 1.

El método de Newton-Raphson es muy eficaz, pero tiene un inconveniente: si no se elige un valor inicial x0 lo suficientemente cercano a x*, el método puede no converger, es decir, puede no llegar a la solución. Por ejemplo, si elegimos x0 = 10, el método no convergerá:

Por tanto, para que el método de Newton-Raphson funcione, es necesario elegir un valor inicial x0 lo suficientemente cercano a x*.

Ejercicios Resueltos Sistemas De Ecuaciones No Lineales Matematicas 4 Eso

Hay muchos tipos de sistemas de ecuaciones no lineales, pero en esta lección trabajaremos con un tipo específico: los que involucran una incógnita en la exponencial.

Por ejemplo, considere el siguiente sistema:

ex + ey = 7

e2xy = 5

Este tipo de sistemas no pueden ser resueltos usando el método de sustitución o el método de eliminación, ya que no podemos manipular las exponenciales de ninguna manera útil.

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Sin embargo, podemos transformar este sistema en un sistema lineal utilizando el logaritmo natural. El logaritmo natural de un número x se denota como ln(x). Por ejemplo, ln(7) = 1.94591…

Podemos usar el logaritmo natural para «despolar» las exponenciales en el sistema original. En otras palabras, podemos reescribir el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

ln(ex) + ln(ey) = ln(7)

ln(e2x)y = ln(5)

Ahora podemos tratar este sistema como un sistema lineal y usar el método de sustitución o el método de eliminación para resolverlo.

Usando el método de sustitución, podemos reescribir la primera ecuación como:

ln(ex) = ln(7) – ln(ey)

Podemos «despolar» la exponencial en la segunda ecuación de la misma manera y reescribirla como:

ln(e2x) = ln(5) + y

Ahora tenemos dos ecuaciones lineales que podemos resolver usando el método de sustitución.

Primero, sustituimos ln(ex) en la segunda ecuación:

ln(7 – ln(ey)) = ln(5) + y

Podemos manipular esta ecuación un poco para que se parezca más a la primera ecuación:

ln(7) – ln(ln(ey)) = ln(5) + y

ln(ln(ey)) = ln(5) + y – ln(7)

Ahora podemos sustituir ln(ln(ey)) en la primera ecuación:

ln(ex) = ln(7) – ln(ln(ey))

ln(ex) = ln(7) – (ln(5) + y – ln(7))

ln(ex) = 2ln(7) – ln(5) – y

ex = e2ln(7) – ln(5) – y

Podemos manipular esta ecuación un poco más para que se parezca a la segunda ecuación:

ex – 2ln(7) + ln(5) + y = 1

e2x – 4ln(7) + 2ln(5) + 2y = e2y

e2x – 4ln(7) + 2ln(5) = e2y

e2x – 4ln(7) + 2ln(5) = eln(5) + y

e2x – 4ln(7) = eln(5) + y

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e2x – 4ln(7) = eln(5)ey

e2x – 4ln(7) = 5ey

Ahora tenemos una ecuación que involucra solo una incógnita, por lo que podemos usar el método de eliminación para resolverla.

En primer lugar, multiplicamos ambos lados de la ecuación por e4ln(7):

e2xe4ln(7) = 5eye4ln(7)

e2x + 4ln(7) = 5ey + 4ln(7)

Ahora podemos cancelar los términos e4ln(7) en ambos lados:

e2x + 4ln(7) = 5

e2x = 5

e2x = 5e

e2x = eln(5)

2x = ln(5)

2x = 1.60944…

x = 0.80472…

Ahora que sabemos el valor de x, podemos sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones originales y resolver fácilmente para y.

Si sustituimos x en la primera ecuación, tenemos:

e0.80472… + ey = 7

ey = 7 – e0.80472…

y = ln(7 – e0.80472…)

y = 1.52572…

Si, en cambio, sustituimos x en la segunda ecuación, tenemos:

e1.60944…y = 5

y = e1.60944… – 5

y = 8.71828… – 5

y = 3.71828…

Como podemos ver, obtuvimos valores ligeramente diferentes para y. Esto es porque el logaritmo natural es una función inversa de la exponencial, por lo que hay un número infinito de pares de números (x, y) que podrían usarse para satisfacer la ecuación ex + ey = 7.

En general, cuando resuelva un sistema de ecuaciones que involucra una función inversa, deberá verificar sus respuestas usando las ecuaciones originales para asegurarse de que haya encontrado la solución correcta.

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