Los ángulos se pueden medir en grados o en radianes. Para transformar una medición de grados a radianes, se divide el número de grados por 360 y se multiplica por 2π. Para transformar una medición de radianes a grados, se divide el número de radianes por 2π y se multiplica por 360.
Un ángulo plano es una porción del plano comprendida entre dos semiplanos determinados por una recta, llamada recta generatriz del ángulo, que pasa por su vértice. La medida de un ángulo se realiza tomando como referencia la longitud de la circunferencia que resulta al unir los extremos de la recta generatriz, formando un arco. La medida de un ángulo se denomina ángulo plano y se representa con la letra griega θ (theta).
Existen tres tipos de ángulos, según su posición respecto a un eje:
Ángulo agudo: Es aquel cuyo vértice se encuentra en el interior del eje. Su medida está comprendida entre 0° y 90°.
Ángulo llano: Es aquel cuyo vértice coincide con el eje. Su medida es igual a 90°.
Ángulo obtuso: Es aquel cuyo vértice se encuentra en el exterior del eje. Su medida está comprendida entre 90° y 180°.
Por otra parte, existen dos tipos de ángulos según la posición de la recta generatriz respecto al eje:
Ángulos ciegos: Son aquellos en los que la recta generatriz no intersecta al eje. Se les llama así porque no se pueden medir directamente, es decir, no se puede saber cuántos grados forman.
Ángulos abiertos: Son aquellos en los que la recta generatriz intersecta al eje. Se les llama así porque se pueden medir directamente.
Los ángulos se pueden clasificar según su posición respecto a un eje o a un plano. En el primer caso, se habla de ángulos rectos, oblicuos o horizontales. En el segundo, de ángulos elevados, inclinados o oblicuos.
Ángulos rectos, oblicuos o horizontales
Los ángulos rectos son aquellos que tienen una medida de 90°. Los ángulos oblicuos son aquellos que no son rectos, es decir, su medida es distinta de 90°. Los ángulos horizontales son aquellos que tienen una medida igual a 0°.
Los ángulos elevados son aquellos que tienen su recta generatriz paralela al eje. Los ángulos inclinados son aquellos que tienen su recta generatriz intersectando al eje. Los ángulos oblicuos son aquellos que no son ni elevados ni inclinados, es decir, su recta generatriz no es ni paralela ni intersecta al eje.
Los ángulos son una de las figuras más importantes de la geometría. En la vida diaria, nos encontramos con ángulos en todas partes: en las esquinas de las casas, en las ruedas de los coches, en las alas de los aviones…
En matemáticas, se utilizan ángulos para medir la separación entre dos líneas o segmentos. Por ejemplo, en la figura siguiente, podemos ver tres ángulos:
Podemos medir los ángulos de dos maneras diferentes:
Con una regla y una escuadra: para medir un ángulo, necesitaremos una regla y una escuadra (o una cinta métrica). Pon la escuadra en la punta de uno de los lados del ángulo, de tal forma que la regla pueda pasar por los dos lados del ángulo. A continuación, usa la regla para medir la separación entre los dos lados del ángulo.
Con un transportador: otra forma de medir un ángulo es con un transportador. Para ello, tendrás que poner el transportador en la punta de uno de los lados del ángulo y luego girar el transportador hasta que puedas leer la medida del ángulo en el transportador.
Una vez que hayamos medido el ángulo, podemos indicar su medida de varias formas:
Podemos indicar la medida del ángulo en ángulos rectos. Por ejemplo, el ángulo en la figura anterior mide 90° (es decir, tiene una medida de 90°).
Podemos indicar la medida del ángulo en grados. Por ejemplo, el ángulo en la figura anterior mide 90° (es decir, tiene una medida de 90 grados).
Podemos indicar la medida del ángulo en radianes. Por ejemplo, el ángulo en la figura anterior mide 1,57 radianes (es decir, tiene una medida de 1,57 radianes).
En matemáticas, se suele utilizar el símbolo α para indicar un ángulo. Por ejemplo, podemos indicar el ángulo de la figura anterior de la siguiente forma:
Los ángulos se pueden clasificar de varias formas, en función de su medida o de su forma:
Ángulos agudos: los ángulos agudos son aquellos que tienen una medida menor que 90°. Por ejemplo, el ángulo de la figura siguiente mide 60°, por lo que es un ángulo agudo:
Ángulos rectos: los ángulos rectos son aquellos que tienen una medida de 90°. Por ejemplo, el ángulo de la figura siguiente mide 90°, por lo que es un ángulo recto:
Ángulos obtusos: los ángulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor que 90° y menor que 180°. Por ejemplo, el ángulo de la figura siguiente mide 120°, por lo que es un ángulo obtuso:
Ángulos llanos: los ángulos llanos son aquellos que tienen una medida de 180°. Por ejemplo, el ángulo de la figura siguiente mide 180°, por lo que es un ángulo llano:
Ángulos cóncavos: los ángulos cóncavos son aquellos que tienen una medida mayor que 180° y menor que 360°. Por ejemplo, el ángulo de la figura siguiente mide 200°, por lo que es un ángulo cóncavo:
Ángulos completos: los ángulos completos son aquellos que tienen una medida de 360°. Por ejemplo, el ángulo de la figura siguiente mide 360°, por lo que es un ángulo completo:
En la figura siguiente podemos ver una tabla con las medidas de los diferentes tipos de ángulos:
Operaciones con ángulos
Al igual que con las demás figuras geométricas, podemos realizar diversas operaciones con los ángulos. A continuación, vamos a ver algunas de las operaciones más importantes:
Suma de ángulos: la suma de dos ángulos se calcula sumando sus medidas. Por ejemplo, la suma del ángulo de la figura siguiente (que mide 30°) y el ángulo que mide 60° es igual a 90°:
Resta de ángulos: la resta de dos ángulos se calcula restando sus medidas. Por ejemplo, la resta del ángulo de la figura siguiente (que mide 90°) y el ángulo que mide 60° es igual a 30°:
Multiplicación de ángulos: la multiplicación de dos ángulos se calcula multiplicando sus medidas. Por ejemplo, la multiplicación del ángulo de la figura siguiente (que mide 30°) y el ángulo que mide 60° es igual a 1800°:
División de ángulos: la división de dos ángulos se calcula dividiendo sus medidas. Por ejemplo, la división del ángulo de la figura siguiente (que mide 30°) y el ángulo que mide 60° es igual a 0,5:
Ejercicios resueltos de ángulos
A continuación, vamos a ver unos cuantos ejercicios resueltos de ángulos. Recuerda que, si tienes alguna duda, puedes consultar nuestros apuntes de matemáticas de 3 de primaria.
Ejercicio 1: calcula la suma de los ángulos de la figura siguiente:
Solución: la suma de los ángulos de la figura es igual a 180° (es decir, es un ángulo llano).
Ejercicio 2: calcula la resta de los ángulos de la figura siguiente:
Solución: la resta de los ángulos de la figura es igual a 0° (es decir, es un ángulo recto).
Ejercicio 3: calcula la multiplicación de los ángulos de la figura siguiente:
Solución: la multiplicación de los ángulos de la figura es igual a 3600°.
Ejercicio 4: calcula la división de los ángulos de la figura sig
