Muchas de las actividades que se realizan a diario requieren de la resolución de ecuaciones racionales. Por ello, es importante que los estudiantes de matemáticas de 1º de Bachillerato comprendan cómo se resuelven este tipo de ecuaciones.
En primer lugar, es necesario comprender qué es una ecuación racional. Una ecuación racional es aquella que contiene una o más incógnitas (variables) y que se puede expresar como una fracción igual a otra fracción.
Por ejemplo, la siguiente ecuación es racional:
$frac{x}{2}+frac{1}{x}=frac{3}{4}$
Una ecuación racional puede expresarse también como una ecuación algebraica, es decir, como una ecuación en la que no hay fracciones.
Por ejemplo, la ecuación racional anterior se puede expresar de la siguiente forma:
$x^2+4x-3=0$
En este caso, se dice que la ecuación racional se ha descompletado.
Para resolver una ecuación racional, es necesario aplicar la regla de la fracción. Esta regla establece que, si en una ecuación se multiplican o dividen todos los términos por una misma cantidad (excepto la incógnita), el valor de la incógnita no se modifica.
Por ejemplo, en la ecuación racional anterior, si se multiplican todos los términos por $x$, se obtiene la siguiente ecuación:
$x^3+4x^2-3x=0$
En este caso, la ecuación se ha multiplicado por $x$.
La regla de la fracción también permite dividir todos los términos de una ecuación por una misma cantidad (excepto la incógnita).
Por ejemplo, en la ecuación racional anterior, si se divide todos los términos entre $2$, se obtiene la siguiente ecuación:
$frac{x^3}{2}+2frac{x^2}{2}-frac{3x}{2}=0$
En este caso, la ecuación se ha dividido entre 2.
Otra forma de aplicar la regla de la fracción es cambiar el signo de todos los términos de una ecuación (excepto la incógnita).
Por ejemplo, en la ecuación racional anterior, si se cambia el signo de todos los términos, se obtiene la siguiente ecuación:
En este caso, se ha cambiado el signo de todos los términos de la ecuación.
La regla de la fracción permite resolver ecuaciones racionales de una forma más sencilla. Por ejemplo, la siguiente ecuación racional:
$frac{x}{5}-frac{1}{3}=frac{2}{15}$
Se puede resolver de la siguiente forma:
1. Se multiplican todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que en este caso es 15. Así, la ecuación queda de la siguiente forma:
$frac{x}{5}-frac{1}{3}=frac{2}{15} times 15$
2. Se sustituyen los términos de la ecuación y se simplifican:
$frac{x}{5}-frac{1}{3}=frac{30}{15}$
$frac{x}{5}-frac{1}{3}=2$
$x=10$
3. Se sustituye el valor de la incógnita en la ecuación original y se simplifica:
$frac{10}{5}-frac{1}{3}=frac{2}{15}$
$2-frac{1}{3}=frac{2}{15}$
$frac{6}{3}=frac{2}{5}$
4. Se resuelve la ecuación y se obtiene la solución:
$2=frac{2}{5}$
$2 times 5=2$
$10=2$
$10 neq 2$
En este caso, la ecuación no tiene solución, ya que el valor de la incógnita (10) no es el mismo que el valor obtenido al resolver la ecuación (2).
Otro ejemplo de ecuación racional es el siguiente:
$frac{x+5}{x-3}=frac{2}{x+1}$
Para resolver esta ecuación, se puede aplicar la regla de la fracción de la siguiente forma:
1. Se multiplican todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que en este caso es $x+1$. Así, la ecuación queda de la siguiente forma:
2. Se sustituyen los términos de la ecuación y se simplifican:
$frac{x+5}{x-3}=frac{2(x+1)}{x+1}$
$frac{x+5}{x-3}=2$
$x+5=2(x-3)$
$x+5=2x-6$
3. Se sustituye el valor de la incógnita en la ecuación original y se simplifica:
$frac{8}{4}=frac{2}{x+1}$
$2=frac{2}{x+1}$
$2 times (x+1)=2$
$2x+2=2$
$2x=0$
$x=0$
4. Se resuelve la ecuación y se obtiene la solución:
$frac{8}{4}=frac{2}{0+1}$
$2=frac{2}{1}$
$2 times 1=2$
$2=2$
La ecuación tiene solución y el valor de la incógnita es 0.
En resumen, para resolver una ecuación racional, es necesario aplicar la regla de la fracción. Esta regla establece que, si en una ecuación se multiplican o dividen todos los términos por una misma cantidad (excepto la incógnita), el valor de la incógnita no se modifica. De esta forma, se puede simplificar la ecuación y, finalmente, resolverla.
